1. Muammo: Quyidagi qator yaqinlashadimi yoki yo'qmi aniqlash kerak: $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n}+2} \arctan \frac{n+3}{n^2 + 5}$$ 2. Qatorning umumiy hadini ko'rib chiqamiz: $$a_n = \frac{1}{\sqrt[3]{n}+2} \arctan \frac{n+3}{n^2 + 5}$$ 3. $\arctan x$ funksiyasi barcha haqiqiy $x$ uchun chegaralangan va $|\arctan x| \leq \frac{\pi}{2}$ bo'ladi. 4. $\frac{n+3}{n^2 + 5}$ uchun $n \to \infty$ da: $$\frac{n+3}{n^2 + 5} \sim \frac{n}{n^2} = \frac{1}{n} \to 0$$ Shuning uchun $\arctan \frac{n+3}{n^2 + 5} \sim \frac{n+3}{n^2 + 5} \sim \frac{1}{n}$ kichik argumentlarda $\arctan x \approx x$ formulasiga ko'ra. 5. Shunday qilib, umumiy had taxminan: $$a_n \sim \frac{1}{n^{1/3}} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n^{4/3}}$$ 6. $\sum \frac{1}{n^{4/3}}$ p-qator bo'lib, $p=\frac{4}{3} > 1$ shartini qanoatlantiradi, demak u yaqinlashadi. 7. Shunday qilib, berilgan qator ham yaqinlashadi. Javob: Qator yaqinlashadi.