1. Mari kita selesaikan persamaan diferensial biasa (ODE) homogen terlebih dahulu: $$y'' + 2y' + 5y = 0$$ 2. Kita mulai dengan mencari karakteristik persamaan ini. Bentuk karakteristiknya adalah: $$r^2 + 2r + 5 = 0$$ 3. Gunakan rumus kuadrat untuk mencari akar-akar $r$: $$r = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2}$$ 4. Karena diskriminan negatif, akar-akar adalah kompleks: $$r = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$$ 5. Berdasarkan tabel kasus, akar kompleks $-a \pm bi$ dengan $a=1$ dan $b=2$ menghasilkan solusi umum: $$y_h = e^{-x}(C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x)$$ --- 6. Sekarang kita selesaikan persamaan non-homogen: $$y'' + 2y' + 5y = 4e^{-x}$$ 7. Solusi umum dari persamaan non-homogen adalah: $$y = y_h + y_p$$ 8. Kita sudah punya $y_h$ dari langkah sebelumnya. Selanjutnya cari solusi partikular $y_p$. Karena ruas kanan adalah $4e^{-x}$, coba bentuk: $$y_p = Ae^{-x}$$ 9. Hitung turunan pertama dan kedua: $$y_p' = -Ae^{-x}$$ $$y_p'' = Ae^{-x}$$ 10. Substitusikan ke persamaan ODE: $$Ae^{-x} + 2(-Ae^{-x}) + 5(Ae^{-x}) = 4e^{-x}$$ 11. Sederhanakan: $$Ae^{-x} - 2Ae^{-x} + 5Ae^{-x} = 4e^{-x}$$ $$ (1 - 2 + 5)Ae^{-x} = 4e^{-x}$$ $$4Ae^{-x} = 4e^{-x}$$ 12. Bagi kedua sisi dengan $4e^{-x}$: $$A = 1$$ 13. Jadi solusi partikularnya: $$y_p = e^{-x}$$ 14. Solusi umum persamaan non-homogen adalah: $$y = e^{-x}(C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x) + e^{-x}$$ 15. Kita bisa faktorkan $e^{-x}$: $$y = e^{-x}(C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x + 1)$$ Jawaban akhir: - Untuk persamaan homogen: $$y = e^{-x}(C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x)$$ - Untuk persamaan non-homogen: $$y = e^{-x}(C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x + 1)$$ Semoga penjelasan ini membantu kamu memahami cara menyelesaikan ODE dengan akar kompleks dan metode solusi partikular!