1. Tentukan Nilai dari a. Hitung nilai dari $20\sqrt{24} - 7\sqrt{54} + 5\sqrt{96}$. - Sederhanakan setiap akar: $$\sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}$$ $$\sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3\sqrt{6}$$ $$\sqrt{96} = \sqrt{16 \times 6} = 4\sqrt{6}$$ - Substitusi: $$20 \times 2\sqrt{6} - 7 \times 3\sqrt{6} + 5 \times 4\sqrt{6} = 40\sqrt{6} - 21\sqrt{6} + 20\sqrt{6}$$ - Jumlahkan koefisien: $$ (40 - 21 + 20)\sqrt{6} = 39\sqrt{6}$$ b. Hitung nilai dari $^5\log 16 \cdot ^7\log 25 - \frac{^3\log 27}{81}$. - Ubah logaritma ke basis yang sama atau evaluasi: $$^5\log 16 = \frac{\log 16}{\log 5}$$ $$^7\log 25 = \frac{\log 25}{\log 7}$$ $$^3\log 27 = \frac{\log 27}{\log 3}$$ - Evaluasi nilai logaritma dengan basis 10: $$\log 16 = \log (2^4) = 4\log 2$$ $$\log 25 = \log (5^2) = 2\log 5$$ $$\log 27 = \log (3^3) = 3\log 3$$ $$\log 81 = \log (3^4) = 4\log 3$$ - Substitusi: $$^5\log 16 = \frac{4\log 2}{\log 5}$$ $$^7\log 25 = \frac{2\log 5}{\log 7}$$ $$\frac{^3\log 27}{81} = \frac{\frac{3\log 3}{\log 3}}{81} = \frac{3}{81} = \frac{1}{27}$$ - Hitung produk dan selisih: $$\left(\frac{4\log 2}{\log 5}\right) \times \left(\frac{2\log 5}{\log 7}\right) - \frac{1}{27} = \frac{8\log 2}{\log 7} - \frac{1}{27}$$ - Ini adalah bentuk akhir yang disederhanakan. 2. Tentukan Himpunan Penyelesaian dari a. $|5x - 6| - 4 = 10$ - Tambahkan 4 ke kedua sisi: $$|5x - 6| = 14$$ - Kasus 1: $5x - 6 = 14 \Rightarrow 5x = 20 \Rightarrow x = 4$ - Kasus 2: $5x - 6 = -14 \Rightarrow 5x = -8 \Rightarrow x = -\frac{8}{5}$ - Jadi, himpunan penyelesaian adalah $\{4, -\frac{8}{5}\}$. b. $|2x - 6| \geq |x + 4|$ - Kuadratkan kedua sisi untuk menghilangkan nilai mutlak: $$(2x - 6)^2 \geq (x + 4)^2$$ - Kembangkan: $$4x^2 - 24x + 36 \geq x^2 + 8x + 16$$ - Pindahkan semua ke satu sisi: $$4x^2 - 24x + 36 - x^2 - 8x - 16 \geq 0$$ $$3x^2 - 32x + 20 \geq 0$$ - Faktorkan atau gunakan diskriminan: $$\Delta = (-32)^2 - 4 \times 3 \times 20 = 1024 - 240 = 784$$ $$x = \frac{32 \pm \sqrt{784}}{2 \times 3} = \frac{32 \pm 28}{6}$$ - Nilai akar: $$x_1 = \frac{32 - 28}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$ $$x_2 = \frac{32 + 28}{6} = \frac{60}{6} = 10$$ - Karena koefisien $x^2$ positif, parabola membuka ke atas, jadi: $$3x^2 - 32x + 20 \geq 0$$ untuk $x \leq \frac{2}{3}$ atau $x \geq 10$. - Jadi himpunan penyelesaian adalah $(-\infty, \frac{2}{3}] \cup [10, \infty)$. 3. Tinggi pohon dengan jarak $18\sqrt{3}$ m dan sudut elevasi $30^\circ$, tinggi mata $1.5$ m. - Gunakan trigonometri: $$\tan 30^\circ = \frac{\text{tinggi pohon} - 1.5}{18\sqrt{3}}$$ - Nilai $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$. - Maka: $$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h - 1.5}{18\sqrt{3}}$$ - Kalikan silang: $$h - 1.5 = 18\sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 18$$ - Jadi: $$h = 18 + 1.5 = 19.5$$ - Tinggi pohon adalah $19.5$ meter. 4. Tukang parkir mendapatkan uang dari mobil dan motor. - Misal uang parkir mobil = $m$, motor = $k$. - Dari 3 mobil dan 5 motor: $$3m + 5k = 17000$$ - Dari 4 mobil dan 2 motor: $$4m + 2k = 18000$$ - Selesaikan sistem persamaan: - Kalikan persamaan kedua dengan 2.5 agar koefisien motor sama: $$4m + 2k = 18000 \Rightarrow 10m + 5k = 45000$$ - Kurangkan persamaan pertama dari hasil di atas: $$(10m + 5k) - (3m + 5k) = 45000 - 17000$$ $$7m = 28000 \Rightarrow m = 4000$$ - Substitusi $m=4000$ ke persamaan pertama: $$3(4000) + 5k = 17000 \Rightarrow 12000 + 5k = 17000 \Rightarrow 5k = 5000 \Rightarrow k = 1000$$ - Jika terdapat 20 mobil dan 30 motor: $$20m + 30k = 20(4000) + 30(1000) = 80000 + 30000 = 110000$$ - Jadi total uang parkir adalah 110000. 5. Gambarlah grafik fungsi kuadrat dari $2x^2 - 9x - 35 = 0$. - Fungsi kuadrat: $$y = 2x^2 - 9x - 35$$ - Cari titik potong dengan sumbu x (akar-akar): $$2x^2 - 9x - 35 = 0$$ - Gunakan rumus kuadrat: $$a=2, b=-9, c=-35$$ $$\Delta = (-9)^2 - 4 \times 2 \times (-35) = 81 + 280 = 361$$ $$x = \frac{9 \pm \sqrt{361}}{2 \times 2} = \frac{9 \pm 19}{4}$$ - Akar-akar: $$x_1 = \frac{9 - 19}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$$ $$x_2 = \frac{9 + 19}{4} = \frac{28}{4} = 7$$ - Titik puncak: $$x_v = -\frac{b}{2a} = \frac{9}{4} = 2.25$$ $$y_v = 2(2.25)^2 - 9(2.25) - 35 = 2(5.0625) - 20.25 - 35 = 10.125 - 20.25 - 35 = -45.125$$ - Grafik parabola membuka ke atas dengan titik puncak di $(2.25, -45.125)$ dan akar di $x = -2.5$ dan $x = 7$.