1. Diketahui matriks \(A=\begin{bmatrix}15 & 3 \\ 6 & 9\end{bmatrix}\), \(B=\begin{bmatrix}2 & x \\ 3 & 10\end{bmatrix}\), dan \(C=\begin{bmatrix}1 & -4 \\ 3 & -13\end{bmatrix}\). Diberikan persamaan \(A - B = C^{-1}\). Langkah 1: Hitung \(A - B\) $$A-B = \begin{bmatrix}15-2 & 3-x \\ 6-3 & 9-10\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}13 & 3-x \\ 3 & -1\end{bmatrix}$$ Langkah 2: Cari invers matriks \(C\) $$\det(C) = 1(-13) - (-4)(3) = -13 + 12 = -1$$ $$C^{-1} = \frac{1}{\det(C)}\begin{bmatrix}-13 & 4 \\ -3 & 1\end{bmatrix} = -1 \times \begin{bmatrix}-13 & 4 \\ -3 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}13 & -4 \\ 3 & -1\end{bmatrix}$$ Langkah 3: Samakan \(A-B\) dengan \(C^{-1}\) $$\begin{bmatrix}13 & 3-x \\ 3 & -1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}13 & -4 \\ 3 & -1\end{bmatrix}$$ Langkah 4: \(3 - x = -4 \Rightarrow x = 3 + 4 = 7\) Jadi, nilai \(x = 7\). --- 2. Diketahui \(A=\begin{bmatrix}3 & 0 \\ 2 & 5\end{bmatrix}\), \(B=\begin{bmatrix}x & -1 \\ y & 1\end{bmatrix}\), dan \(C=\begin{bmatrix}0 & -1 \\ -15 & 5\end{bmatrix}\). Diberikan \(A^t \cdot B = C\). Langkah 1: Cari transpose \(A^t\) $$A^t = \begin{bmatrix}3 & 2 \\ 0 & 5\end{bmatrix}$$ Langkah 2: Hitung perkalian \(A^t . B\) $$A^t B = \begin{bmatrix}3 & 2 \\ 0 & 5\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x & -1 \\ y & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3x + 2y & -3 + 2 \\ 0x + 5y & 0 - 5\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3x + 2y & -3 + 2 \\ 5y & -5\end{bmatrix}$$ Langkah 3: Sama dengan \(C\) $$\begin{bmatrix}3x + 2y & -1 \\ 5y & -5\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & -1 \\ -15 & 5\end{bmatrix}$$ Langkah 4: Dari komponen kedua kolom kedua $$-1 = -1$$ benar Langkah 5: Dari baris kedua, kolom pertama $$5y = -15 \Rightarrow y = -3$$ Langkah 6: Dari baris pertama, kolom pertama $$3x + 2y = 0 \Rightarrow 3x + 2(-3) = 0 \Rightarrow 3x - 6 = 0 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2$$ Langkah 7: Hitung \(2x + y = 2(2) + (-3) = 4 - 3 = 1\) Jadi, nilai \(2x + y = 1\). --- 3. Diketahui matriks \(A = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\) dan matriks \(X\) berordo (2x2) yang memenuhi \(AX = \begin{bmatrix}4 & 3 \\ 2 & 1\end{bmatrix}\). Langkah 1: Cari invers matriks \(A\) $$\det(A) = 1 \times 4 - 2 \times 3 = 4 - 6 = -2$$ $$A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix}4 & -2 \\ -3 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-2 & 1 \\ 1.5 & -0.5\end{bmatrix}$$ Langkah 2: Kalikan kedua sisi persamaan dengan \(A^{-1}\) $$X = A^{-1} \begin{bmatrix}4 & 3 \\ 2 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-2 & 1 \\ 1.5 & -0.5\end{bmatrix} \begin{bmatrix}4 & 3 \\ 2 & 1\end{bmatrix}$$ Langkah 3: Hitung elemen-elemen matriks hasil $$X_{11} = -2 \times 4 + 1 \times 2 = -8 + 2 = -6$$ $$X_{12} = -2 \times 3 + 1 \times 1 = -6 + 1 = -5$$ $$X_{21} = 1.5 \times 4 + (-0.5) \times 2 = 6 - 1 = 5$$ $$X_{22} = 1.5 \times 3 + (-0.5) \times 1 = 4.5 - 0.5 = 4$$ Jadi, \(X = \begin{bmatrix}-6 & -5 \\ 5 & 4\end{bmatrix}\) yang sesuai dengan pilihan a. --- 4. Soal ini identik dengan soal nomor 1, sehingga solusi sama: \(x = 7\). --- 5. Diketahui \(A = \begin{bmatrix}3 & -1 \\ 2 & -5\end{bmatrix}\) dan \(A^2 = Ax + Iy\) dengan \(x,y \in \mathbb{R}\) dan \(I\) matriks identitas 2x2. Langkah 1: Hitung \(A^2 = A \cdot A\) $$A^2 = \begin{bmatrix}3 & -1 \\ 2 & -5\end{bmatrix} \begin{bmatrix}3 & -1 \\ 2 & -5\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3 \times 3 + (-1) \times 2 & 3 \times (-1) + (-1) \times (-5) \\ 2 \times 3 + (-5) \times 2 & 2 \times (-1) + (-5) \times (-5)\end{bmatrix}$$ $$= \begin{bmatrix}9 - 2 & -3 + 5 \\ 6 - 10 & -2 + 25\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}7 & 2 \\ -4 & 23\end{bmatrix}$$ Langkah 2: Persamaan \(A^2 = Ax + Iy\) artinya $$A^2 = xA + yI = x \begin{bmatrix}3 & -1 \\ 2 & -5\end{bmatrix} + y \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3x + y & -x \\ 2x & -5x + y\end{bmatrix}$$ Langkah 3: Samakan elemen-elemen kedua matriks \(\begin{cases} 3x + y = 7 \\ -x = 2 \\ 2x = -4 \\ -5x + y = 23 \end{cases}\) Langkah 4: Dari \(-x = 2 \Rightarrow x = -2\) Langkah 5: Dari \(2x = -4 \Rightarrow 2 \times -2 = -4\) benar Langkah 6: Substitute \(x = -2\) ke \(3x + y = 7\) $$3(-2) + y = 7 \Rightarrow -6 + y = 7 \Rightarrow y = 13$$ Langkah 7: Cek ke \(-5x + y = 23\) $$-5(-2) + 13 = 10 + 13 = 23$$ benar Langkah 8: Hitung \(x + y = -2 + 13 = 11\) Jadi, nilai \(x + y = 11\). --- Jawaban akhir: 1. x = 7 2. 2x + y = 1 3. X = \begin{bmatrix}-6 & -5 \\ 5 & 4\end{bmatrix} 4. x = 7 5. x + y = 11