1. Muammo: Quyidagi ketma-ketlikning yaqinlashishini tekshirish kerak: $$\sum_{n=1}^{\infty} n \cdot \left( \frac{3n - 1}{4n + 2} \right)^{2n}$$ 2. Ketma-ketlik yaqinlashishini tekshirish uchun odatda n-ta'lim qoidalaridan foydalanamiz. Bu yerda asosiy qoidalar: - Agar ketma-ketlikning umumiy hadlari nolga yaqinlashmasa, ketma-ketlik yaqinlashmaydi. - Agar umumiy hadlar nolga yaqinlashsa, qo'shimcha testlar (masalan, nisbiy test, ildiz testi) qo'llaniladi. 3. Ketma-ketlikning umumiy hadi: $$a_n = n \cdot \left( \frac{3n - 1}{4n + 2} \right)^{2n}$$ 4. Avvalo, ichki nisbatni soddalashtiramiz: $$\frac{3n - 1}{4n + 2} = \frac{3 - \frac{1}{n}}{4 + \frac{2}{n}}$$ $n \to \infty$ da bu nisbat: $$\lim_{n \to \infty} \frac{3 - \frac{1}{n}}{4 + \frac{2}{n}} = \frac{3}{4}$$ 5. Shunday qilib, asosiy ifoda taxminan: $$a_n \approx n \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^{2n} = n \cdot \left( \frac{9}{16} \right)^n$$ 6. Endi $a_n$ ning limitini topamiz: $$\lim_{n \to \infty} n \cdot \left( \frac{9}{16} \right)^n$$ 7. Chunki $\frac{9}{16} < 1$, $\left( \frac{9}{16} \right)^n$ juda tez nolga yaqinlashadi, $n$ esa chiziqli o'sadi. Eksponensial nolga yaqinlashish chiziqli o'sishni yengadi, shuning uchun: $$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$$ 8. Shunday qilib, umumiy hadlar nolga yaqinlashadi, ketma-ketlik yaqinlashishi mumkin. 9. Endi ketma-ketlikning yaqinlashishini tekshirish uchun ildiz testini qo'llaymiz: $$L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} \cdot \left| \frac{3n - 1}{4n + 2} \right|^2$$ 10. $\sqrt[n]{n} \to 1$ va $\left| \frac{3n - 1}{4n + 2} \right| \to \frac{3}{4}$, shuning uchun: $$L = 1 \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{9}{16} < 1$$ 11. Ildiz testi shuni ko'rsatadiki, $L < 1$ bo'lgani uchun ketma-ketlik yaqinlashadi. **Javob:** Ketma-ketlik yaqinlashadi.