1. Állapítsuk meg az értelmezési tartományt. Mivel a függvényben gyök van $\sqrt{4x - 4}$, így $4x - 4 \geq 0$ kell, hogy legyen. 2. Megoldjuk az egyenlőtlenséget: $$4x - 4 \geq 0 \Rightarrow 4x \geq 4 \Rightarrow x \geq 1$$ Ez azt jelenti, hogy az értelmezési tartomány $[1, +\infty)$. 3. Írjuk fel a függvényt egyszerűsítve: $$f(x) = \left| \sqrt{4x - 4} - 2 \right|$$ Mivel $\sqrt{4x-4} = \sqrt{4(x-1)} = 2\sqrt{x-1}$, így $$f(x) = |2\sqrt{x-1} - 2| = 2|\sqrt{x-1} - 1|$$ 4. Vizsgáljuk meg a függvényt az értelmezési tartományon. Megvizsgáljuk, mikor lesz nulla a zárójel: $$\sqrt{x-1} - 1 = 0 \Rightarrow \sqrt{x-1} = 1 \Rightarrow x-1 = 1 \Rightarrow x = 2$$ Tehát $x=2$-nél a függvény értéke 0. 5. Írjuk fel az abszolút értéket két esetben: - Ha $\sqrt{x-1} - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2$, akkor $$f(x) = 2(\sqrt{x-1} - 1)$$ - Ha $\sqrt{x-1} - 1 < 0 \Rightarrow 1 \leq x < 2$, akkor $$f(x) = 2(1 - \sqrt{x-1})$$ 6. Vizsgáljuk a függvény viselkedését az egyes intervallumokon: - $x \in [1,2)$ esetén: $f(x) = 2(1 - \sqrt{x-1})$ amely monoton csökken, ugyanis $\sqrt{x-1}$ nő, így $1-\sqrt{x-1}$ csökken. - $x \in [2,+\infty)$ esetén: $f(x) = 2(\sqrt{x-1} - 1)$ amely növekszik, mert $\sqrt{x-1}$ növekszik. 7. Nézzük meg a függvény határértékét, amikor $x \to +\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} 2(\sqrt{x-1} - 1) = +\infty$$ 8. Összefoglalva: - Az értelmezési tartomány $[1,+\infty)$ - A függvény $x=2$-nél 0-t vesz fel és ott minimum pont is van. - A $f(x)$ növekszik az $[2,+\infty)$ tartományban és $f(x) \to +\infty$ ahogy $x \to +\infty$. Így nincs globális maximum, mert a függvény értéke korlátlanul nő. 9. Válasz: Az $f$ függvénynek globális maximumhelye: nincs Az $f$ függvénynek globális maximumértéke: nincs