1. Tentukan turunan fungsi (turteste olskim) untuk setiap persamaan. a) Diberikan $y = 12 \ln x + x^2 - 16x$ Gunakan aturan turunan: $\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$, $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$, dan turunan konstanta dikalikan fungsi. Turunan: $$y' = 12 \cdot \frac{1}{x} + 2x - 16 = \frac{12}{x} + 2x - 16$$ b) Diberikan $y = 2x^3 - 6x^2 + 4x - 1$ Turunan: $$y' = 6x^2 - 12x + 4$$ c) Diberikan $y = \frac{x(x-1)}{x-2} = \frac{x^2 - x}{x-2}$ Gunakan aturan turunan fungsi hasil bagi: $$y' = \frac{(2x - 1)(x - 2) - (x^2 - x)(1)}{(x - 2)^2}$$ Sederhanakan: $$y' = \frac{(2x - 1)(x - 2) - (x^2 - x)}{(x - 2)^2} = \frac{2x^2 - 4x - x + 2 - x^2 + x}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 2}{(x - 2)^2}$$ 2. Tentukan titik belok dan persamaan garis singgung. a) $y = x^4 - 10x^2 + 7x + 4$ Turunan pertama: $$y' = 4x^3 - 20x + 7$$ Turunan kedua: $$y'' = 12x^2 - 20$$ Titik belok terjadi saat $y'' = 0$: $$12x^2 - 20 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{20}{12} = \frac{5}{3} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{5}{3}}$$ Hitung $y$ di titik belok dan persamaan garis singgung menggunakan $y'$. b) $y = \frac{x^3}{2} - \frac{x^2}{2} - 2x + 5$ Turunan pertama: $$y' = \frac{3x^2}{2} - x - 2$$ Turunan kedua: $$y'' = 3x - 1$$ Titik belok saat $y'' = 0$: $$3x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$$ Hitung $y$ dan $y'$ di $x=\frac{1}{3}$ untuk persamaan garis singgung. 3. Koefisien kekakuan $n = k \frac{L}{d^4}$ dengan kesalahan pengukuran $\Delta L = \pm 0.25\%$ dan $\Delta d = \pm 1\%$. Persentase kesalahan $\Delta n$ dihitung dengan aturan propagasi kesalahan: $$\frac{\Delta n}{n} = \frac{\Delta L}{L} + 4 \cdot \frac{\Delta d}{d} = 0.25\% + 4 \times 1\% = 4.25\%$$ 4. Perubahan simpangan balok $y = \frac{k w^2 l^3}{t^4}$ dengan perubahan $\Delta w = +4\%$, $\Delta l = -3\%$, $\Delta t = +2\%$. Persentase perubahan $\Delta y$: $$\frac{\Delta y}{y} = 2 \cdot \frac{\Delta w}{w} + 3 \cdot \frac{\Delta l}{l} - 4 \cdot \frac{\Delta t}{t} = 2(4\%) + 3(-3\%) - 4(2\%) = 8\% - 9\% - 8\% = -9\%$$ Jadi, simpangan berkurang sebesar 9%. 5. Luas permukaan kerucut: $$s = \pi r^2 + \pi r \sqrt{r^2 + h^2}$$ Diberikan $\frac{dr}{dt} = 0.25$, $\frac{dh}{dt} = 0.25$, cari $\frac{ds}{dt}$ pada $r=3$, $h=4$. Turunan: $$\frac{ds}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt} + \pi \frac{d}{dt} \left( r \sqrt{r^2 + h^2} \right)$$ Gunakan aturan produk dan rantai: $$\frac{d}{dt} \left( r \sqrt{r^2 + h^2} \right) = \frac{dr}{dt} \sqrt{r^2 + h^2} + r \cdot \frac{1}{2 \sqrt{r^2 + h^2}} \cdot 2r \frac{dr}{dt} + 2h \frac{dh}{dt}$$ Hitung nilai: $$\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$$ Jadi: $$\frac{d}{dt} \left( r \sqrt{r^2 + h^2} \right) = 0.25 \times 5 + 3 \times \frac{1}{2 \times 5} (2 \times 3 \times 0.25 + 2 \times 4 \times 0.25) = 1.25 + 3 \times 0.1 (1.5 + 2) = 1.25 + 0.3 \times 3.5 = 1.25 + 1.05 = 2.3$$ Maka: $$\frac{ds}{dt} = 2 \pi \times 3 \times 0.25 + \pi \times 2.3 = 1.5 \pi + 2.3 \pi = 3.8 \pi$$ Jadi, kecepatan pertambahan luas permukaan adalah $3.8 \pi$ cm²/detik.