1. Állítsuk fel a problémát: adott a napi eladott mennyiség függvénye a marketingköltség $x$ (ezer euróban) függvényében: $$q(x) = 1000(1 - e^{-0,4x})$$ 2. Határozzuk meg az első deriváltat $q'(x)$, amely megmutatja, hogyan változik az eladott mennyiség a marketingköltség változásával: $$q'(x) = \frac{d}{dx} \left[1000(1 - e^{-0,4x})\right] = 1000 \cdot 0 - 1000 \cdot \frac{d}{dx} e^{-0,4x} = -1000 \cdot (-0,4) e^{-0,4x} = 400 e^{-0,4x}$$ 3. Határozzuk meg a második deriváltat $q''(x)$, amely megmutatja az első derivált változásának irányát, vagyis a növekedés gyorsulását vagy lassulását: $$q''(x) = \frac{d}{dx} q'(x) = \frac{d}{dx} \left[400 e^{-0,4x}\right] = 400 \cdot (-0,4) e^{-0,4x} = -160 e^{-0,4x}$$ 4. Vizsgáljuk meg az előjeleket: - Mivel $e^{-0,4x} > 0$ minden $x$-re, ezért $q'(x) = 400 e^{-0,4x} > 0$ minden $x$-re. Ez azt jelenti, hogy az eladott mennyiség mindig növekszik, ha növeljük a marketingköltséget. - Másrészt $q''(x) = -160 e^{-0,4x} < 0$ minden $x$-re, tehát a növekedés üteme csökken, vagyis a növekedés lassul. 5. Gyakorlati értelmezés: - Az első derivált pozitív volta azt jelenti, hogy a marketingköltség növelése mindig növeli az eladott mennyiséget. - A második derivált negatív volta azt jelzi, hogy a növekedés mértéke csökken, tehát a marketingköltség növelése egyre kisebb hatással van az eladott mennyiség növekedésére (csökkenő hozadék). Ez összhangban van a valósággal, ahol a marketingbefektetés növelése először jelentős eladásnövekedést eredményez, de egy idő után a hatás mérséklődik.