1. Masalah: Diketahui fungsi $f(x,y)=x^2y+\sqrt{y}$. Tentukan daerah asal, daerah hasil, sketsa grafik, dan peta kontur untuk $k=0,1,2,3,4,5$. 2. Daerah asal: Fungsi mengandung $\sqrt{y}$, sehingga $y\geq0$ agar akar kuadrat terdefinisi real. Tidak ada batasan pada $x$, jadi daerah asal adalah $\{(x,y)\mid x\in\mathbb{R}, y\geq0\}$. 3. Daerah hasil: Untuk $y=0$, $f(x,0)=0$. Untuk $y>0$, $f(x,y)=x^2y+\sqrt{y}$. Karena $x^2y\geq0$ dan $\sqrt{y}>0$, maka $f(x,y)\geq\sqrt{y}>0$. Namun, dengan $x=0$, $f(0,y)=\sqrt{y}$ yang dapat mengambil nilai dari $0$ ke $+\infty$. Dengan $x$ besar, $x^2y$ dapat menjadi sangat besar positif. Jadi daerah hasil adalah $[0,+\infty)$. 4. Sketsa grafik: Grafik adalah permukaan di ruang tiga dimensi dengan variabel $x,y$ dan nilai $z=f(x,y)$. Karena $y\geq0$, grafik berada di atas bidang $xy$ untuk $y\geq0$. Bentuknya naik tajam karena $x^2y$ dan $\sqrt{y}$. 5. Peta kontur: Peta kontur adalah himpunan titik $(x,y)$ yang memenuhi $f(x,y)=k$ untuk nilai $k$ tertentu. Persamaan kontur: $$k = x^2 y + \sqrt{y}$$ Misal $t=\sqrt{y}$, maka $y=t^2$ dan: $$k = x^2 t^2 + t = t(x^2 t + 1)$$ Untuk $k$ tetap, kita dapat mengekspresikan $x$ dalam fungsi $t$: $$x^2 = \frac{k - t}{t^2}$$ Dengan syarat $t>0$ dan $k - t \geq 0 \Rightarrow t \leq k$. Jadi peta kontur untuk setiap $k=0,1,2,3,4,5$ adalah himpunan titik $(x,y)$ dengan $y=t^2$, $t\in(0,k]$, dan $$x=\pm \sqrt{\frac{k - t}{t^2}}$$ Kesimpulan: - Daerah asal: $\{(x,y)\mid x\in\mathbb{R}, y\geq0\}$ - Daerah hasil: $[0,+\infty)$ - Sketsa grafik: permukaan $z=x^2 y + \sqrt{y}$ di $y\geq0$ - Peta kontur: $k = x^2 y + \sqrt{y}$ dengan $y=t^2$, $t\in(0,k]$, $x=\pm \sqrt{\frac{k - t}{t^2}}$ Jawaban lengkap untuk pertanyaan pertama (daerah asal).