1. Diketahui suku ke-4 (U_4) dan suku ke-10 (U_{10}) dari barisan aritmatika. Kita cari beda (d) dan suku pertama (a). Rumus suku ke-n: $$U_n = a + (n-1)d$$ Dari U_4 = 20, maka $$a + 3d = 20$$ Dari U_{10} = 56, maka $$a + 9d = 56$$ Kurangkan kedua persamaan: $$ (a+9d) - (a+3d) = 56 - 20$$ $$ 6d = 36 \Rightarrow d = 6 $$ Masukkan nilai d ke persamaan pertama: $$ a + 3 \times 6 = 20 \Rightarrow a + 18 = 20 \Rightarrow a = 2 $$ Suku ke-15: $$U_{15} = a + 14d = 2 + 14 \times 6 = 2 + 84 = 86$$ 2. Diketahui jumlah 10 suku pertama adalah 235 dan suku pertama a=5. Rumus jumlah n suku pertama barisan aritmatika: $$S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)$$ Substitusi: $$235 = \frac{10}{2} (2 \times 5 + 9d) = 5 (10 + 9d)$$ $$235 = 50 + 45d \Rightarrow 45d = 185 \Rightarrow d = \frac{185}{45} = \frac{37}{9}$$ Suku ke-20: $$U_{20} = a + 19d = 5 + 19 \times \frac{37}{9} = 5 + \frac{703}{9} = \frac{45}{9} + \frac{703}{9} = \frac{748}{9} \approx 83.11$$ 3. Barisan geometri, diketahui U_3 = 12, U_6 = 96 Rumus suku ke-n barisan geometri: $$U_n = ar^{n-1}$$ Dari U_3 = ar^2 = 12 Dari U_6 = ar^5 = 96 Bagi kedua persamaan: $$\frac{ar^5}{ar^2} = \frac{96}{12} \Rightarrow r^3 = 8 \Rightarrow r = 2$$ Masukkan ke U_3: $$a \times 2^2 = 12 \Rightarrow a \times 4 = 12 \Rightarrow a = 3$$ Suku ke-10: $$U_{10} = a r^9 = 3 \times 2^9 = 3 \times 512 = 1536$$ 4. Pasien berjalan dengan pola barisan aritmatika Hari ke-1: 500 m, bertambah 100 m tiap hari Jarak hari ke-n: $$U_n = 500 + (n-1) \times 100$$ Untuk 14 hari, jumlah jarak total: $$S_{14} = \frac{14}{2} [2 \times 500 + (14-1) \times 100] = 7 [1000 + 1300] = 7 \times 2300 = 16100 \text{ meter}$$ 5. Kultur bakteri membelah dua setiap 15 menit, awal 5 bakteri Dalam 2 jam ada $$\frac{2 \times 60}{15} = 8$$ kali pembelahan Barisan geometri dengan a=5 dan r=2 Bakteri setelah 8 kali pembelahan: $$U_9 = 5 \times 2^{8} = 5 \times 256 = 1280$$ 6. Bola dijatuhkan dari ketinggian 12 m, tiap pantulan naik ke $$\frac{2}{3}$$ ketinggian sebelumnya Total lintasan adalah total perjalanan jatuh dan naik Perjalanan awal jatuh: 12 m Setiap pantulan naik dan turun: $$12 \times \frac{2}{3} + 12 \times \left(\frac{2}{3}\right)^2 + 12 \times \left(\frac{2}{3}\right)^3 + ...$$ Ini deret geometri dengan suku pertama: $$a = 12 \times \frac{2}{3} = 8$$ rasio $$r = \frac{2}{3}$$ Jumlah deret naik dan turun, karena setiap naik pasti turun lagi: $$S = 2 \times \frac{a}{1-r} = 2 \times \frac{8}{1 - \frac{2}{3}} = 2 \times \frac{8}{\frac{1}{3}} = 2 \times 24 = 48$$ Tambah perjalanan jatuh pertama: $$Total = 12 + 48 = 60 \text{ meter}$$