1. Masalah yang diberikan adalah mencari turunan pertama, kedua, dan ketiga dari fungsi $Q$ di titik $x=0$, yaitu $Q'(0)$, $Q''(0)$, dan $Q'''(0)$, berdasarkan persamaan diferensial parsial (PDE) dan kondisi batas yang diberikan. 2. Diketahui hubungan antara $U$ dan $Q$ pada $x=0$: $$U_x(0) = 2Q(0)Q_x(0) - sf(\tau)$$ $$U_{xx}(0) = 2(Q_x(0)^2 + Q(0)Q_{xx}(0)) - sf(\tau)$$ $$U_{xxx}(0) = 6Q_x(0)Q_{xx}(0) + 2Q(0)Q_{xxx}(0) - sf(\tau)$$ 3. Notasi singkat: $$Q_x(0,\tau) = Q'(0), \quad Q_{xx}(0,\tau) = Q''(0), \quad Q_{xxx}(0,\tau) = Q'''(0)$$ 4. PDE yang digunakan adalah: $$U_\tau - \frac{1}{2} \sigma^2 U_{xx} - \xi_\tau U_x + rU = 0, \quad x > 0$$ Dimana: $$\xi_\tau = \frac{sf'(\tau)}{sf(\tau)} + V, \quad V = r - \frac{\sigma^2}{2}$$ 5. Evaluasi PDE di $x=0$: - Turunan waktu: $$U_\tau(0,\tau) = \frac{\partial}{\partial \tau} (K - sf(\tau)) = -s'f(\tau)$$ - Turunan ruang pertama: $$U_x(0,\tau) = -sf(\tau)$$ - Fungsi di titik 0: $$U(0,\tau) = K - sf(\tau)$$ 6. Substitusi ke PDE di $x=0$: $$-s'f(\tau) - \frac{1}{2} \sigma^2 U_{xx}(0) - \xi_\tau (-sf(\tau)) + r (K - sf(\tau)) = 0$$ 7. Dari sini, kita dapat menyelesaikan untuk $U_{xx}(0)$: $$U_{xx}(0) = \frac{2}{\sigma^2} \left(-s'f(\tau) + \xi_\tau sf(\tau) - r(K - sf(\tau)) \right)$$ 8. Dengan $U_{xx}(0)$ diketahui, kita substitusi ke persamaan $U_{xx}(0)$ yang melibatkan $Q''(0)$: $$2(Q'(0)^2 + Q(0) Q''(0)) - sf(\tau) = U_{xx}(0)$$ Sehingga: $$Q''(0) = \frac{U_{xx}(0) + sf(\tau) - 2 Q'(0)^2}{2 Q(0)}$$ 9. Untuk mencari $Q'(0)$, gunakan kondisi batas dan hubungan $U_x(0)$: $$U_x(0) = 2 Q(0) Q'(0) - sf(\tau) = -sf(\tau)$$ Maka: $$2 Q(0) Q'(0) = 0 \implies Q'(0) = 0$$ 10. Dengan $Q'(0) = 0$, persamaan $Q''(0)$ menjadi: $$Q''(0) = \frac{U_{xx}(0) + sf(\tau)}{2 Q(0)}$$ 11. Untuk $Q'''(0)$, gunakan persamaan: $$U_{xxx}(0) = 6 Q'(0) Q''(0) + 2 Q(0) Q'''(0) - sf(\tau)$$ Karena $Q'(0) = 0$, maka: $$U_{xxx}(0) = 2 Q(0) Q'''(0) - sf(\tau)$$ 12. Jika $U_{xxx}(0)$ diketahui atau dapat dihitung dari PDE atau kondisi lain, maka: $$Q'''(0) = \frac{U_{xxx}(0) + sf(\tau)}{2 Q(0)}$$ --- **Ringkasan:** - $Q'(0) = 0$ - $Q''(0) = \frac{U_{xx}(0) + sf(\tau)}{2 Q(0)}$ dengan $U_{xx}(0)$ dari PDE - $Q'''(0) = \frac{U_{xxx}(0) + sf(\tau)}{2 Q(0)}$ jika $U_{xxx}(0)$ diketahui Ini adalah langkah-langkah untuk mencari turunan $Q$ di $x=0$ menggunakan PDE dan kondisi batas yang diberikan.