1. Hitung $^{2}\log 9 \cdot {^3\log 2}$. Gunakan sifat logaritma dan ubah ke basis yang sama jika perlu. 2. Selesaikan $\log (5\sqrt{5}) + \log \sqrt{3} + \log 4s$. Gunakan sifat penjumlahan logaritma $\log a + \log b = \log (ab)$. 3. Hitung $^{5}\log 2s + {^5\log 10} - {^5\log 2}$. Gunakan sifat penjumlahan dan pengurangan logaritma dengan basis yang sama. 4. Hitung $\frac{1}{3^{\log \sqrt{5}^5}}$. Gunakan sifat logaritma dan eksponen untuk menyederhanakan. 5. Hitung $(\frac{1}{2 \sqrt{2}})^{\frac{1}{4}} \log 81$. Gunakan sifat pangkat dan ubah log ke basis yang sesuai. 6. Hitung $\frac{(^{2}\log 7 + {^5\log 7}) \cdot {^7\log 25}}{^{2}\log 7 \cdot {^7\log 10}}$. Uraikan tiap bagian dan sederhanakan menggunakan sifat logaritma. --- Mari kita selesaikan satu per satu: 1. $^{2}\log 9$ artinya log basis 2 dari 9, $^{3}\log 2$ artinya log basis 3 dari 2. Gunakan perubahan basis: $$^{2}\log 9 = \frac{\ln 9}{\ln 2}, \quad {^3\log 2} = \frac{\ln 2}{\ln 3}$$ Jadi hasilnya: $$^{2}\log 9 \times {^3\log 2} = \frac{\ln 9}{\ln 2} \times \frac{\ln 2}{\ln 3} = \frac{\ln 9}{\ln 3}$$ Karena $9 = 3^2$, maka $\ln 9 = 2 \ln 3$, sehingga: $$\frac{\ln 9}{\ln 3} = 2$$ 2. Gunakan: $$\log (5\sqrt{5}) + \log \sqrt{3} + \log 4s = \log \left(5\sqrt{5} \times \sqrt{3} \times 4s \right)$$ Hitung dalam tanda kurung: $$5\sqrt{5} = 5 \times 5^{1/2} = 5^{1 + 1/2} = 5^{3/2}$$ $$\sqrt{3} = 3^{1/2}$$ Sehingga: $$5^{3/2} \times 3^{1/2} \times 4s = 4s \times 5^{3/2} \times 3^{1/2}$$ 3. Gunakan sifat logaritma: $$^{5}\log 2s + {^5\log 10} - {^5\log 2} = {^5\log} \frac{2s \times 10}{2} = {^5\log} 10s$$ 4. Tuliskan $3^{\log \sqrt{5}^5}$ sebagai $3^{\log (5^{5/2})}$. Karena $\sqrt{5}^5 = (5^{1/2})^5 = 5^{5/2}$. Ini sama dengan $3^{\log 5^{5/2}}$. Jika log basisnya default (misal 10), kita hitung: $$3^{\log 5^{5/2}} = 3^{\frac{5}{2} \log 5} = \left(3^{\log 5}\right)^{5/2}$$ Gunakan identitas $a^{\log b} = b^{\log a}$ (basis pemilik log dan eksponen sama), atau hitung eksponensial numeriknya. Maka: $$\frac{1}{3^{\log \sqrt{5}^5}} = 3^{-\log 5^{5/2}} = (3^{-\log 5})^{5/2} = (5^{-\log 3})^{5/2}$$ Hasil akhir adalah bentuk eksponensial lebih kompleks tergantung basis log. 5. Selesaikan: $$(\frac{1}{2 \sqrt{2}})^{1/4} \log 81$$ Ubah: $$2 \sqrt{2} = 2 \times 2^{1/2} = 2^{3/2}$$ Sehingga: $$\frac{1}{2 \sqrt{2}} = 2^{-3/2}$$ Maka: $$\left(2^{-3/2}\right)^{1/4} = 2^{-3/8}$$ Kemudian: $$\log 81 = \log 3^4 = 4 \log 3$$ Jadi hasilnya: $$2^{-3/8} \times 4 \log 3 = 4 \log 3 \times 2^{-3/8}$$ 6. Hitung: $$\frac{(^{2}\log 7 + {^5\log 7}) \cdot {^7\log 25}}{^{2}\log 7 \cdot {^7\log 10}}$$ Gunakan perubahan basis untuk semua logaritma ke log natural: $$^{a}\log b = \frac{\ln b}{\ln a}$$ Jadi: $$^{2}\log 7 = \frac{\ln 7}{\ln 2}, {^5\log 7} = \frac{\ln 7}{\ln 5}, {^7\log 25} = \frac{\ln 25}{\ln 7}, {^7\log 10} = \frac{\ln 10}{\ln 7}$$ Substitusi dan sederhanakan: $$\frac{\left( \frac{\ln 7}{\ln 2} + \frac{\ln 7}{\ln 5} \right) \cdot \frac{\ln 25}{\ln 7}}{ \frac{\ln 7}{\ln 2} \cdot \frac{\ln 10}{\ln 7} } = \frac{\ln 7 \left( \frac{1}{\ln 2} + \frac{1}{\ln 5} \right) \frac{\ln 25}{\ln 7}}{ \frac{\ln 7}{\ln 2} \frac{\ln 10}{\ln 7}}$$ Faktor $\ln 7$ dan sederhanakan: $$= \frac{\left( \frac{1}{\ln 2} + \frac{1}{\ln 5} \right) \ln 25}{ \frac{\ln 10}{\ln 2}} = \frac{\left( \frac{1}{\ln 2} + \frac{1}{\ln 5} \right) \ln 25 \ln 2}{\ln 10}$$ Karena $\ln 25 = \ln 5^2 = 2 \ln 5$ dan $\ln 10 = \ln 2 + \ln 5$, substitusi: $$ = \frac{\left( \frac{1}{\ln 2} + \frac{1}{\ln 5} \right) 2 \ln 5 \ln 2}{\ln 2 + \ln 5}$$ Hitung ekspresi dalam kurung: $$\frac{1}{\ln 2} + \frac{1}{\ln 5} = \frac{\ln 5 + \ln 2}{\ln 2 \ln 5}$$ Jadi: $$= \frac{2 \ln 5 \ln 2 \cdot \frac{\ln 5 + \ln 2}{\ln 2 \ln 5}}{\ln 2 + \ln 5} = \frac{2 (\ln 5 + \ln 2)}{\ln 2 + \ln 5} = 2$$ --- Jawaban akhir: 1) 2 2) $\log (4 s 5^{3/2} 3^{1/2})$ 3) $^{5}\log 10s$ 4) $\frac{1}{3^{\log (5^{5/2})}}$ 5) $4 \log 3 \times 2^{-3/8}$ 6) 2