1. Tentukan nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $6 < 4x - 2 \geq 2$. Langkah-langkah: 1. Pertidaksamaan ini adalah gabungan dua pertidaksamaan: $6 < 4x - 2$ dan $4x - 2 \geq 2$. 2. Selesaikan pertidaksamaan pertama: $$6 < 4x - 2$$ Tambahkan 2 ke kedua sisi: $$6 + 2 < 4x$$ $$8 < 4x$$ Bagi kedua sisi dengan 4: $$2 < x$$ 3. Selesaikan pertidaksamaan kedua: $$4x - 2 \geq 2$$ Tambahkan 2 ke kedua sisi: $$4x \geq 4$$ Bagi kedua sisi dengan 4: $$x \geq 1$$ 4. Gabungkan hasil: $$2 < x \text{ dan } x \geq 1$$ Karena $x$ harus lebih besar dari 2 dan juga lebih besar atau sama dengan 1, maka solusi yang memenuhi adalah: $$x > 2$$ 2. Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan dan pertidaksamaan mutlak berikut: a. $|4x + 18| = 2$ Langkah-langkah: 1. Definisi nilai mutlak: $|A| = B$ berarti $A = B$ atau $A = -B$. 2. Jadi: $$4x + 18 = 2 \quad \text{atau} \quad 4x + 18 = -2$$ 3. Selesaikan masing-masing: - Untuk $4x + 18 = 2$: $$4x = 2 - 18 = -16$$ $$x = -4$$ - Untuk $4x + 18 = -2$: $$4x = -2 - 18 = -20$$ $$x = -5$$ Jadi, solusi adalah $x = -4$ atau $x = -5$. b. $|5x - 9| < 6$ Langkah-langkah: 1. Definisi nilai mutlak: $|A| < B$ berarti $-B < A < B$. 2. Jadi: $$-6 < 5x - 9 < 6$$ 3. Tambahkan 9 ke semua bagian: $$-6 + 9 < 5x < 6 + 9$$ $$3 < 5x < 15$$ 4. Bagi semua bagian dengan 5: $$\frac{3}{5} < x < 3$$ Jadi, solusi adalah $x$ dalam interval $\left(\frac{3}{5}, 3\right)$. 3. Didefinisikan relasi pengurangan ($-$) pada himpunan bilangan Asli $\mathbb{N}$ sebagai berikut: $$\forall x, y \in \mathbb{N}, x \mathcal{R} y \iff x - y \in \mathbb{N}$$ Selidiki apakah relasi $\mathcal{R}$ bersifat: a. Refleksif? Langkah-langkah: 1. Refleksif berarti $x \mathcal{R} x$ untuk semua $x \in \mathbb{N}$. 2. Periksa apakah $x - x \in \mathbb{N}$. 3. Karena $x - x = 0$, dan 0 biasanya tidak termasuk dalam bilangan asli (tergantung definisi, tapi umumnya $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$), maka $0 \notin \mathbb{N}$. 4. Jadi, relasi ini **tidak refleksif**. b. Simetris? Langkah-langkah: 1. Simetris berarti jika $x \mathcal{R} y$, maka $y \mathcal{R} x$. 2. Jika $x \mathcal{R} y$, maka $x - y \in \mathbb{N}$. 3. Untuk simetris, harus $y - x \in \mathbb{N}$ juga. 4. Contoh: pilih $x=3$, $y=1$. - $3 - 1 = 2 \in \mathbb{N}$, jadi $3 \mathcal{R} 1$. - $1 - 3 = -2 \notin \mathbb{N}$, jadi $1 \not\mathcal{R} 3$. 5. Jadi, relasi ini **tidak simetris**. c. Transitif? Langkah-langkah: 1. Transitif berarti jika $x \mathcal{R} y$ dan $y \mathcal{R} z$, maka $x \mathcal{R} z$. 2. Jika $x \mathcal{R} y$, maka $x - y \in \mathbb{N}$. 3. Jika $y \mathcal{R} z$, maka $y - z \in \mathbb{N}$. 4. Tambahkan kedua: $$(x - y) + (y - z) = x - z$$ 5. Karena $x - y \in \mathbb{N}$ dan $y - z \in \mathbb{N}$, jumlahnya juga dalam $\mathbb{N}$ (karena bilangan asli tertutup terhadap penjumlahan). 6. Jadi, $x - z \in \mathbb{N}$, maka $x \mathcal{R} z$. 7. Jadi, relasi ini **transitif**. Kesimpulan: - Relasi $\mathcal{R}$ tidak refleksif. - Relasi $\mathcal{R}$ tidak simetris. - Relasi $\mathcal{R}$ transitif.