1. Masalah pertama adalah mencari nilai $x$ yang memenuhi $$\frac{1}{2.013} + \frac{2}{2.013} + \frac{3}{2.013} + \cdots + \frac{2.013}{2.013} = x$$ 2. Kita dapat menyederhanakan setiap suku menjadi $\frac{k}{2.013}$ untuk $k=1,2,\ldots,2.013$. 3. Jumlah ini adalah deret aritmetika dengan suku pertama $a_1 = \frac{1}{2.013}$ dan suku terakhir $a_n = \frac{2.013}{2.013} = 1$, dengan jumlah $n = 2.013$ suku. 4. Jumlah deret aritmetika adalah $$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$ 5. Substitusi nilai: $$S_{2.013} = \frac{2.013}{2} \left( \frac{1}{2.013} + 1 \right) = 1.0065 \times \left(0.4965 + 1\right) = 1.0065 \times 1.4965 = 1.506$$ 6. Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah sekitar $1.506$. --- 7. Soal kedua adalah menghitung $$S_2 + S_3 + S_4 + \cdots$$ 8. Diberikan $$S_n = \frac{1}{2^n} + \frac{1}{3^n} + \frac{1}{4^n} + \cdots$$ 9. Ini adalah deret tak hingga dari fungsi zeta tereduksi (Hurwitz zeta) untuk $k \geq 2$. 10. Jumlah totalnya adalah $$\sum_{n=2}^\infty S_n = \sum_{n=2}^\infty \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k^n}$$ 11. Tukar urutan penjumlahan: $$= \sum_{k=2}^\infty \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{k^n} = \sum_{k=2}^\infty \frac{1/k^2}{1 - 1/k} = \sum_{k=2}^\infty \frac{1/k^2}{(k-1)/k} = \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k(k-1)}$$ 12. Pecah pecahan parsial: $$\frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}$$ 13. Deret menjadi: $$\sum_{k=2}^\infty \left( \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} \right) = 1$$ 14. Jadi, jawaban yang benar adalah A. 1. --- 15. Soal ketiga tentang anak tangga dengan tinggi 18 cm. 16. Tinggi anak tangga ke-$n$ adalah $$h_n = 18 \times n$$ 17. Periksa pernyataan: - Anak tangga ke-3: $h_3 = 18 \times 3 = 54$ cm, jadi pernyataan 52 cm salah. - Anak tangga ke-9: $h_9 = 18 \times 9 = 162$ cm, benar. - Selisih anak tangga ke-11 dan ke-4: $$h_{11} - h_4 = 18 \times 11 - 18 \times 4 = 198 - 72 = 126$$ cm, benar. - Tinggi anak tangga paling atas (misal ke-$n$) adalah 243 cm, maka $$18 \times n = 243 \Rightarrow n = \frac{243}{18} = 13.5$$ Karena anak tangga harus bulat, ini salah. --- Jawaban singkat: - Nilai $x \approx 1.506$ - $S_2 + S_3 + \cdots = 1$ - Pernyataan anak tangga: 1 salah, 2 benar, 3 benar, 4 salah