1. Planteamiento: Calcular la integral triple $$I = \int_1^3 \int_0^{\sqrt{4-(x-2)^2}} \int_0^{y^2} \frac{\sin(3y)}{6-z} \, dz \, dy \, dx.$$ 2. Fórmula y reglas: La integral triple se evalúa integrando primero respecto a $z$, luego $y$ y finalmente $x$. La integral interna es $$\int_0^{y^2} \frac{\sin(3y)}{6-z} dz.$$ Como $\sin(3y)$ es constante respecto a $z$, se puede sacar fuera de la integral en $z$. 3. Cálculo de la integral interna: $$\int_0^{y^2} \frac{\sin(3y)}{6-z} dz = \sin(3y) \int_0^{y^2} \frac{1}{6-z} dz = \sin(3y) [-\ln|6-z|]_0^{y^2} = \sin(3y) [\ln 6 - \ln(6 - y^2)] = \sin(3y) \ln \left( \frac{6}{6 - y^2} \right).$$ 4. La integral queda entonces: $$I = \int_1^3 \int_0^{\sqrt{4-(x-2)^2}} \sin(3y) \ln \left( \frac{6}{6 - y^2} \right) dy \, dx.$$ 5. Observamos que la integral en $x$ es sobre $x$ en $[1,3]$ y la integral en $y$ es de $0$ a $\sqrt{4-(x-2)^2}$, que describe un semicírculo de radio 2 centrado en $x=2$. 6. Cambiamos el orden de integración para integrar primero en $x$: Para un $y$ fijo, $x$ varía entre $2 - \sqrt{4 - y^2}$ y $2 + \sqrt{4 - y^2}$. 7. Por lo tanto, $$I = \int_0^2 \sin(3y) \ln \left( \frac{6}{6 - y^2} \right) \left( 2\sqrt{4 - y^2} \right) dy.$$ 8. Esta integral puede evaluarse numéricamente o con software debido a su complejidad analítica. --- 9. Problema 2: Calcular el área delimitada por $$x = y^2 + 1,$$ $$y - x = -2 \Rightarrow x = y + 2,$$ $$y = -1,$$ $$y = 2.$$ 10. El área entre dos curvas $x = f(y)$ y $x = g(y)$ entre $y=a$ y $y=b$ es $$A = \int_a^b |f(y) - g(y)| dy.$$ 11. Aquí, las curvas son $x = y^2 + 1$ y $x = y + 2$. 12. Para $y$ en $[-1,2]$, calculamos la diferencia: $$D(y) = (y + 2) - (y^2 + 1) = -y^2 + y + 1.$$ 13. El área es $$A = \int_{-1}^2 (-y^2 + y + 1) dy.$$ 14. Calculamos la integral: $$\int (-y^2 + y + 1) dy = -\frac{y^3}{3} + \frac{y^2}{2} + y + C.$$ 15. Evaluamos en $-1$ y $2$: $$\left[-\frac{y^3}{3} + \frac{y^2}{2} + y \right]_{-1}^2 = \left(-\frac{8}{3} + 2 + 2\right) - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} -1\right) = \left(-\frac{8}{3} + 4\right) - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} -1\right).$$ 16. Simplificando: $$-\frac{8}{3} + 4 = -\frac{8}{3} + \frac{12}{3} = \frac{4}{3},$$ $$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} -1 = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{2}{2} = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}.$$ 17. Por lo tanto, $$A = \frac{4}{3} - (-\frac{1}{6}) = \frac{4}{3} + \frac{1}{6} = \frac{8}{6} + \frac{1}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1.5.$$ --- 18. Problema 3: Volumen delimitado por planos $$z=0, x=0, y=0, \frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{6} = 3.$$ 19. El volumen es $$V = \iiint_{D} dV,$$ donde $D$ es la región en el primer octante bajo el plano. 20. Despejamos $z$: $$\frac{z}{6} = 3 - \frac{x}{3} - \frac{y}{2} \Rightarrow z = 18 - 2x - 3y.$$ 21. Los límites son: $$0 \leq x \leq 9, \quad 0 \leq y \leq 6 - \frac{2x}{3}, \quad 0 \leq z \leq 18 - 2x - 3y.$$ 22. El volumen es $$V = \int_0^9 \int_0^{6 - \frac{2x}{3}} \int_0^{18 - 2x - 3y} dz \, dy \, dx.$$ 23. Integrando en $z$: $$\int_0^{18 - 2x - 3y} dz = 18 - 2x - 3y.$$ 24. Entonces $$V = \int_0^9 \int_0^{6 - \frac{2x}{3}} (18 - 2x - 3y) dy \, dx.$$ 25. Integrando en $y$: $$\int_0^{6 - \frac{2x}{3}} (18 - 2x - 3y) dy = (18 - 2x) y - \frac{3y^2}{2} \Big|_0^{6 - \frac{2x}{3}}.$$ 26. Evaluamos: $$= (18 - 2x) \left(6 - \frac{2x}{3}\right) - \frac{3}{2} \left(6 - \frac{2x}{3}\right)^2.$$ 27. Simplificamos: $$6 - \frac{2x}{3} = \frac{18 - 2x}{3}.$$ 28. Entonces $$(18 - 2x) \frac{18 - 2x}{3} - \frac{3}{2} \left( \frac{18 - 2x}{3} \right)^2 = \frac{(18 - 2x)^2}{3} - \frac{3}{2} \frac{(18 - 2x)^2}{9} = (18 - 2x)^2 \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{6} \right) = \frac{(18 - 2x)^2}{6}.$$ 29. Por lo tanto $$V = \int_0^9 \frac{(18 - 2x)^2}{6} dx = \frac{1}{6} \int_0^9 (18 - 2x)^2 dx.$$ 30. Hacemos el cambio $u = 18 - 2x$, entonces $du = -2 dx$, $dx = -\frac{du}{2}$. Cuando $x=0$, $u=18$; cuando $x=9$, $u=0$. 31. La integral es $$\frac{1}{6} \int_{u=18}^0 u^2 \left(-\frac{1}{2}\right) du = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} \int_0^{18} u^2 du = \frac{1}{12} \int_0^{18} u^2 du.$$ 32. Calculamos $$\int_0^{18} u^2 du = \frac{18^3}{3} = \frac{5832}{3} = 1944.$$ 33. Por lo tanto $$V = \frac{1}{12} \times 1944 = 162.$$ --- 34. Problema 4: Verificar si $$x^{2} y^{2} + 2 x y = C_1$$ es solución de $$(x y^{2} + 2 y) dx + (x^{2} y + x) dy = 0.$$ 35. Definimos $$M = x y^{2} + 2 y, \quad N = x^{2} y + x.$$ 36. Calculamos derivadas parciales: $$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 2,$$ $$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y + 1.$$ 37. Como $\frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}$, la ecuación no es exacta. 38. Verificamos si la función propuesta satisface la ecuación: Derivamos implícitamente $$F(x,y) = x^{2} y^{2} + 2 x y = C_1,$$ $$\Rightarrow 2 x y^{2} + x^{2} 2 y \frac{dy}{dx} + 2 y + 2 x \frac{dy}{dx} = 0.$$ 39. Simplificando $$2 x y^{2} + 2 x^{2} y \frac{dy}{dx} + 2 y + 2 x \frac{dy}{dx} = 0,$$ $$\Rightarrow (2 x^{2} y + 2 x) \frac{dy}{dx} = - (2 x y^{2} + 2 y).$$ 40. Entonces $$\frac{dy}{dx} = - \frac{2 x y^{2} + 2 y}{2 x^{2} y + 2 x} = - \frac{y^{2} + y/x}{x y + 1}.$$ 41. La ecuación diferencial dada es $$(x y^{2} + 2 y) + (x^{2} y + x) \frac{dy}{dx} = 0,$$ $$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = - \frac{x y^{2} + 2 y}{x^{2} y + x} = - \frac{y^{2} + 2 y / x}{x y + 1}.$$ 42. Como las dos expresiones para $\frac{dy}{dx}$ no coinciden, la función no es solución. --- 43. Problema 5: Resolver $$(2 x y + y^{2}) dx = (x^{2} - 2 y^{2}) dy.$$ 44. Reescribimos como $$(2 x y + y^{2}) dx - (x^{2} - 2 y^{2}) dy = 0.$$ 45. Definimos $$M = 2 x y + y^{2}, \quad N = -(x^{2} - 2 y^{2}) = -x^{2} + 2 y^{2}.$$ 46. Calculamos derivadas parciales: $$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 2 y,$$ $$\frac{\partial N}{\partial x} = -2 x.$$ 47. Como $\frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}$, no es exacta. 48. Buscamos un factor integrante. Probamos $\mu = \frac{1}{y^{2}}$: 49. Multiplicamos la ecuación por $\frac{1}{y^{2}}$: $$\frac{2 x y + y^{2}}{y^{2}} dx + \frac{-x^{2} + 2 y^{2}}{y^{2}} dy = \left( \frac{2 x}{y} + 1 \right) dx + \left( - \frac{x^{2}}{y^{2}} + 2 \right) dy = 0.$$ 50. Nuevos $M$ y $N$: $$M = \frac{2 x}{y} + 1, \quad N = - \frac{x^{2}}{y^{2}} + 2.$$ 51. Derivadas parciales: $$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{2 x}{y^{2}},$$ $$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{2 x}{y^{2}}.$$ 52. Ahora $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$, la ecuación es exacta. 53. Buscamos función $F(x,y)$ tal que $$\frac{\partial F}{\partial x} = M = \frac{2 x}{y} + 1.$$ 54. Integramos respecto a $x$: $$F(x,y) = \int \left( \frac{2 x}{y} + 1 \right) dx = \frac{x^{2}}{y} + x + h(y).$$ 55. Derivamos $F$ respecto a $y$: $$\frac{\partial F}{\partial y} = - \frac{x^{2}}{y^{2}} + h'(y).$$ 56. Igualamos a $N$: $$- \frac{x^{2}}{y^{2}} + h'(y) = - \frac{x^{2}}{y^{2}} + 2 \Rightarrow h'(y) = 2.$$ 57. Integramos: $$h(y) = 2 y + C.$$ 58. Por lo tanto, $$F(x,y) = \frac{x^{2}}{y} + x + 2 y = C.$$ 59. Solución general implícita: $$\frac{x^{2}}{y} + x + 2 y = C.$$