1. Vamos a graficar paso a paso las funciones cuadráticas, valor absoluto y exponenciales que mencionaste. ### I. Funciones Cuadráticas 1) Problema: Graficar $y = x^2 + 4x - 5$. - Fórmula general: $y = ax^2 + bx + c$. - Aquí, $a=1$, $b=4$, $c=-5$. - El vértice se encuentra con $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2} = -2$. - Evaluamos $y$ en $x=-2$: $y = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$. - Vértice: $(-2, -9)$. - Eje de simetría: $x = -2$. - Intercepto en $y$: cuando $x=0$, $y = -5$. - Interceptos en $x$: resolvemos $x^2 + 4x - 5 = 0$. $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(-5)}}{2(1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 \pm 6}{2}$$ - $x_1 = \frac{-4 + 6}{2} = 1$ - $x_2 = \frac{-4 - 6}{2} = -5$ 2) Para las demás funciones cuadráticas, se sigue el mismo procedimiento: identificar $a,b,c$, calcular vértice, interceptos y dibujar la parábola. ### II. Funciones de Valor Absoluto 1) Problema: Graficar $y = |2x - 4|$. - La función valor absoluto se define como $y = |u| = \begin{cases} u, & u \geq 0 \\ -u, & u < 0 \end{cases}$. - Aquí, $u = 2x - 4$. - Encontramos el punto donde $u=0$: $2x - 4 = 0 \Rightarrow x=2$. - Para $x \geq 2$, $y = 2x - 4$ (línea recta creciente). - Para $x < 2$, $y = -(2x - 4) = -2x + 4$ (línea recta decreciente). - El gráfico tiene forma de "V" con vértice en $(2,0)$. 2) Para las demás funciones de valor absoluto, se aplica la misma lógica: encontrar puntos donde la expresión dentro del valor absoluto es cero y definir las piezas lineales. ### III. Funciones Exponenciales 1) Problema: Graficar $y = 2^{-x + 1}$. - La función exponencial general es $y = a^{x}$ con $a > 0$ y $a \neq 1$. - Aquí, $y = 2^{-x + 1} = 2^{1 - x} = 2 \cdot 2^{-x} = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x$. - Para $x=0$, $y=2$. - Para $x=1$, $y=2 \cdot \frac{1}{2} = 1$. - La función decrece porque la base efectiva es $\frac{1}{2} < 1$. - Asíntota horizontal en $y=0$. 2) Para las demás funciones exponenciales, se evalúan puntos clave y se identifican traslaciones y reflexiones. --- Este procedimiento paso a paso te ayudará a graficar cada función. Si quieres, puedo ayudarte con una función específica o con todas detalladamente.