1. **Planteamiento del problema:** El modelo logístico dado es $$P(t) = \frac{2000}{1 + 1999 e^{-0.8905 t}}$$ donde $P(t)$ es el número de estudiantes infectados después de $t$ días. 2. **Parte a): Encontrar $P(5)$** Sustituimos $t = 5$ en la función: $$P(5) = \frac{2000}{1 + 1999 e^{-0.8905 \cdot 5}}$$ Calculamos el exponente: $$-0.8905 \cdot 5 = -4.4525$$ Entonces: $$P(5) = \frac{2000}{1 + 1999 e^{-4.4525}}$$ Evaluamos $e^{-4.4525}$: $$e^{-4.4525} \approx 0.01165$$ Ahora: $$P(5) = \frac{2000}{1 + 1999 \times 0.01165} = \frac{2000}{1 + 23.29} = \frac{2000}{24.29} \approx 82.36$$ Por lo tanto, alrededor de 82 estudiantes estarán infectados después de 5 días. 3. **Parte b): Tiempo en que la mitad de la población está infectada** Queremos encontrar $t$ tal que $P(t) = 1000$ (la mitad de 2000). $$1000 = \frac{2000}{1 + 1999 e^{-0.8905 t}}$$ Invertimos la ecuación: $$1 + 1999 e^{-0.8905 t} = \frac{2000}{1000} = 2$$ Despejamos: $$1999 e^{-0.8905 t} = 1$$ $$e^{-0.8905 t} = \frac{1}{1999}$$ Tomamos logaritmos naturales: $$-0.8905 t = \ln \left( \frac{1}{1999} \right) = -\ln (1999)$$ Por lo tanto: $$t = \frac{\ln (1999)}{0.8905}$$ Calculamos: $$\ln (1999) \approx 7.6009$$ $$t \approx \frac{7.6009}{0.8905} \approx 8.53$$ Entonces, la mitad de la población estará infectada alrededor del día 8.53. 4. **Parte c): Número de infectados a largo plazo ($t \to \infty$)** Al crecer el tiempo mucho, $e^{-0.8905 t} \to 0$, así que el denominador se acerca a 1. Por lo tanto: $$\lim_{t\to \infty} P(t) = \frac{2000}{1+0} = 2000$$ El modelo predice que eventualmente todos los estudiantes estarán infectados. 5. **Parte d): Gráfica de $P(t)$** La función es una curva logística que empieza cerca de 0, crece rápidamente y se aproxima a 2000.