1. **Problema:** Demostrar las siguientes igualdades de conjuntos para cualesquiera conjuntos $A$ y $B$. 2. **Parte a)** Demostrar que $$A \cup (A \cap B) = A$$ - Por definición, $A \cap B$ es el conjunto de elementos que están en ambos $A$ y $B$. - La unión $A \cup (A \cap B)$ incluye todos los elementos que están en $A$ o en $A \cap B$. - Como $A \cap B \subseteq A$, entonces $A \cup (A \cap B) = A$. 3. **Parte b)** Demostrar que $$(A - B) \cup B = A \cup B$$ - $A - B$ es el conjunto de elementos que están en $A$ pero no en $B$. - La unión $(A - B) \cup B$ incluye todos los elementos que están en $A$ y no en $B$, más todos los elementos de $B$. - Esto es equivalente a todos los elementos que están en $A$ o en $B$, es decir, $A \cup B$. 4. **Parte c)** Demostrar que $$(A - B) \cap B = \emptyset$$ - $A - B$ contiene elementos de $A$ que no están en $B$. - La intersección con $B$ busca elementos que estén en ambos conjuntos. - No hay elementos que estén en $A$ y no en $B$ y al mismo tiempo en $B$, por lo que la intersección es el conjunto vacío $\emptyset$. 5. **Parte d)** Demostrar que $$ (A \cup B) - (A \cap B) = (A \triangle B) = (A - B) \cup (B - A) $$ - $A \triangle B$ es la diferencia simétrica, los elementos que están en $A$ o en $B$ pero no en ambos. - $(A \cup B) - (A \cap B)$ elimina los elementos comunes de la unión, quedando solo los que están en uno u otro conjunto pero no en ambos. - Esto es igual a la unión de los elementos exclusivos de $A$ y los exclusivos de $B$, es decir, $(A - B) \cup (B - A)$. **Respuesta final:** Las igualdades dadas son verdaderas y se han demostrado usando definiciones básicas de conjuntos y operaciones.