1. Problema: En una progresión aritmética (PA), el sexto término es 28 y la diferencia común es 5. Calcular el término general y los 5 primeros términos. Paso 1: Recordamos la fórmula del término general de una PA: $$a_n = a_1 + (n-1)d$$ donde $a_1$ es el primer término y $d$ la diferencia. Paso 2: Usamos el dato del sexto término: $$a_6 = a_1 + 5d = 28$$ Paso 3: Como $d=5$, sustituimos: $$a_1 + 5 \times 5 = 28$$ $$a_1 + 25 = 28$$ $$a_1 = 28 - 25 = 3$$ Paso 4: Entonces el término general es: $$a_n = 3 + (n-1)5 = 3 + 5n - 5 = 5n - 2$$ Paso 5: Calculamos los 5 primeros términos: $$a_1 = 3, a_2 = 8, a_3=13, a_4=18, a_5=23$$ --- 2. Problema: En una progresión geométrica (PG), primer término $a_1=6$ y cuarto término $a_4=48$. Calcular término general y suma de primeros 5 términos. Paso 1: Fórmula término general de PG: $$a_n = a_1 r^{n-1}$$ Paso 2: Usamos $a_4 = 6r^{3} = 48$, despejamos $r$: $$6r^3=48 \Rightarrow r^3=8 \Rightarrow r=2$$ Paso 3: Término general: $$a_n = 6 \times 2^{n-1}$$ Paso 4: Suma de primeros 5 términos de PG: $$S_5 = a_1 \frac{r^5-1}{r-1} = 6 \frac{2^5 -1}{2-1} = 6 \times \frac{32-1}{1} = 6 \times 31 = 186$$ --- 3. Problema: Encontrar término general de la sucesión $20, 19.3, 18.6, 17.9, \dots$ Determinar si es aritmética o geométrica. Hallar términos 10, 20 y 30. Paso 1: Revisamos diferencias entre términos: $$19.3-20 = -0.7$$ $$18.6-19.3 = -0.7$$ $$17.9-18.6 = -0.7$$ Diferencia constante de $-0.7$, es PA. Paso 2: $a_1=20$, $d=-0.7$, término general: $$a_n = 20 + (n-1)(-0.7) = 20 -0.7(n-1)$$ Paso 3: Calculamos términos: $$a_{10} = 20 - 0.7(9) = 20 - 6.3 = 13.7$$ $$a_{20} = 20 - 0.7(19) = 20 - 13.3 = 6.7$$ $$a_{30} = 20 - 0.7(29) = 20 - 20.3 = -0.3$$ --- 4. Problema: Encontrar término general de la sucesión $0.5, 0.25, 0.125, 0.0625, \dots$ ¿Es aritmética o geométrica? Calcular $a_{10}$ y $a_{100}$. Paso 1: Revisamos razones: $$0.25/0.5 = 0.5$$ $$0.125/0.25 = 0.5$$ Razón constante de $0.5$, es PG. Paso 2: Término general: $$a_n = a_1 r^{n-1} = 0.5 \times (0.5)^{n-1} = 0.5^n$$ Paso 3: Calculamos términos: $$a_{10} = 0.5^{10} = \frac{1}{1024} \approx 0.0009766$$ $$a_{100} = 0.5^{100} = \frac{1}{1.267\times10^{30}} \approx 7.9 \times 10^{-31}$$ --- 5. Problema: Suma infinita de términos de la sucesión es 1. ¿Por qué la suma de infinitos términos positivos no es infinita? Paso 1: Para una PG con $|r|<1$ la suma infinita es finita: $$S_{\infty} = \frac{a_1}{1 - r}$$ Paso 2: Como $a_1=0.5$ y $r=0.5$, $$S_{\infty} = \frac{0.5}{1-0.5} = \frac{0.5}{0.5} = 1$$ Paso 3: La razón es que la suma converge: términos se hacen muy pequeños y suman a un límite finito. --- 6. Problema: PA con primer término $a_1=1$ y suma de 10 primeros términos $S_{10}=63$. Calcular término general. Paso 1: Fórmula suma primeros $n$ términos PA: $$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$ Paso 2: Con $n=10$, $a_1=1$, tenemos: $$63 = \frac{10}{2}(1 + a_{10}) = 5(1 + a_{10})$$ Paso 3: Despejamos: $$1 + a_{10} = \frac{63}{5} = 12.6$$ $$a_{10} = 11.6$$ Paso 4: Usamos fórmula término general: $$a_{10} = a_1 + 9d = 1 + 9d = 11.6$$ Paso 5: Despejamos $d$: $$9d = 10.6 \Rightarrow d = \frac{10.6}{9} = 1.1777$$ Paso 6: Término general: $$a_n = 1 + (n-1)\times 1.1777$$ --- 7. Problema: PA finita, segundo término $a_2 = -23$, último término $a_{12} = 32$, con 12 términos. Calcular término general. Paso 1: En PA: $$a_2 = a_1 + d = -23$$ $$a_{12} = a_1 + 11d = 32$$ Paso 2: Restamos para hallar $d$: $$(a_{12} - a_2) = (a_1+11d) - (a_1 + d) = 10d = 32 - (-23) = 55$$ $$d = \frac{55}{10} = 5.5$$ Paso 3: Sustituimos $d$ en $a_2 = a_1 + d = -23$: $$a_1 + 5.5 = -23$$ $$a_1 = -28.5$$ Paso 4: Término general: $$a_n = -28.5 + (n-1)5.5$$ --- 8. Problema incompleto: El 2º y 5º términos de una PG son dados (datos faltantes) para escribir la sucesión. Sin datos, no se resuelve. --- 9. Problema incompleto: Primer y octavo término de una PG son dados (datos faltantes) para hallar razón, suma y producto de primeros 8 términos. --- 10. Problema: Un cuadrado de lado $l$ tiene otro cuadrado formado por unir puntos medios de sus lados y se repite infinitamente. Calcular suma de áreas infinitos cuadrados. Paso 1: Área primer cuadrado: $$A_1 = l^2$$ Paso 2: Área segundo cuadrado es la del polígono formado por puntos medios, área es la mitad: $$A_2 = \frac{1}{2} A_1 = \frac{l^2}{2}$$ Paso 3: Cada cuadrado tiene área mitad del anterior. La suma es serie geométrica: $$S = A_1 + A_2 + A_3 + \dots = l^2 + \frac{l^2}{2} + \frac{l^2}{4} + \dots$$ Paso 4: Suma infinita con primer término $a = l^2$, razón $r = \frac{1}{2}$: $$S = \frac{a}{1-r} = \frac{l^2}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{l^2}{\frac{1}{2}} = 2l^2$$