1. Planteamos el problema: Optimizar la producción de fideos, galletas y aceites usando sistemas de ecuaciones basados en costos y demanda. 2. Definimos variables: Sea $x$ la producción de fideos (toneladas), $y$ la producción de galletas, y $z$ la producción de aceites. 3. Restricciones de capacidad: $$x + y + z \leq 500$$ (capacidad diaria en toneladas). 4. Demanda mensual estimada (convertida a diaria, asumiendo 30 días): $$\frac{800}{30} \approx 26.67, \quad \frac{600}{30} = 20, \quad \frac{1000}{30} \approx 33.33$$ 5. Costos unitarios de producción: - Fideos: S/2.00 por kg = S/2000 por tonelada - Galletas: S/3.50 por kg = S/3500 por tonelada - Aceites: costo materia prima S/5.00 por litro (asumimos 1 litro = 1 kg para simplificar) 6. Costo total por producto incluye materia prima, mano de obra (S/0.80 por kg = S/800 por tonelada), y costos fijos distribuidos proporcionalmente. 7. Formamos sistema de ecuaciones para optimizar producción con método de Cramer: $$\begin{cases} a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_1 \\ a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_2 \\ a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = b_3 \end{cases}$$ Donde coeficientes $a_{ij}$ representan costos y demandas, y $b_i$ los recursos disponibles. 8. Calculamos valores logarítmicos para analizar costos relativos, por ejemplo: $$\log(\text{Costo fideos}) = \log(2000), \quad \log(\text{Costo galletas}) = \log(3500)$$ 9. Representamos gráficamente funciones lineales y cuadráticas para modelar costos y rentabilidad, por ejemplo: $$y = 2000x + 800x + \text{costos fijos}$$ 10. Realizamos análisis estadístico de ventas históricas usando media y desviación estándar para evaluar tendencias y fluctuaciones. 11. Proyectamos demanda futura con modelo de regresión lineal y crecimiento del 5% para aceites: $$\text{Demanda futura} = 1000 \times 1.05 = 1050 \text{ toneladas}$$ 12. Finalmente, resolvemos el sistema para obtener producción óptima $x, y, z$ que minimice costos y satisfaga demanda. Respuesta final: La solución óptima se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones con los datos y restricciones dadas, aplicando el método de Cramer y análisis estadístico para ajustar producción y costos.