1. Vamos resolver a questão 6c: Converter $\frac{5\pi}{3}$ radianos para graus. 2. A fórmula para converter radianos em graus é: $$\text{graus} = \text{radianos} \times \frac{180}{\pi}$$ 3. Aplicando a fórmula: $$\frac{5\pi}{3} \times \frac{180}{\pi} = \frac{5 \times 180}{3} = 5 \times 60 = 300$$ 4. Portanto, $\frac{5\pi}{3}$ radianos equivalem a 300 graus. 5. Agora, questão 6d: Converter 120 graus para radianos. 6. A fórmula para converter graus em radianos é: $$\text{radianos} = \text{graus} \times \frac{\pi}{180}$$ 7. Aplicando a fórmula: $$120 \times \frac{\pi}{180} = \frac{120}{180} \pi = \frac{2}{3} \pi$$ 8. Portanto, 120 graus equivalem a $\frac{2\pi}{3}$ radianos. 9. Questão 7a: Triângulo 1 - determinar as razões trigonométricas. 10. Dados: hipotenusa $h = 3 + \sqrt{5}$ cm, cateto adjacente $C.A = 4$ cm, cateto oposto $C.O = 2$ cm. 11. As razões trigonométricas são: - $$\cos \alpha = \frac{C.A}{h} = \frac{4}{3 + \sqrt{5}}$$ - $$\sin \alpha = \frac{C.O}{h} = \frac{2}{3 + \sqrt{5}}$$ - $$\tan \alpha = \frac{C.O}{C.A} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ - $$\cot \alpha = \frac{C.A}{C.O} = \frac{4}{2} = 2$$ - $$\sec \alpha = \frac{h}{C.A} = \frac{3 + \sqrt{5}}{4}$$ - $$\csc \alpha = \frac{h}{C.O} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$$ 12. Questão 7b: Triângulo 2 - determinar o lado desconhecido $a$. 13. Dados: ângulo de 45°, cateto conhecido $5$ cm, hipotenusa $a$. 14. Em um triângulo retângulo com ângulo de 45°, os catetos são iguais e a hipotenusa é $$a = \text{cateto} \times \sqrt{2}$$ 15. Calculando: $$a = 5 \times \sqrt{2}$$ 16. Portanto, o lado desconhecido $a$ é $5\sqrt{2}$ cm. 17. Questão 8a: Sabendo que $\cot x = -1$, calcular as demais funções trigonométricas. 18. Sabemos que $$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} = -1 \Rightarrow \cos x = -\sin x$$ 19. Isso ocorre em ângulos onde $\sin x$ e $\cos x$ têm valores iguais em módulo, mas sinais opostos, por exemplo, $x = \frac{3\pi}{4}$ ou $x = \frac{7\pi}{4}$. 20. Calculando as funções: - $$\tan x = \frac{1}{\cot x} = \frac{1}{-1} = -1$$ - $$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ (considerando $x=\frac{3\pi}{4}$) - $$\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ - $$\sec x = \frac{1}{\cos x} = -\sqrt{2}$$ - $$\csc x = \frac{1}{\sin x} = \sqrt{2}$$ 21. Questão 8b: Calcular o valor da expressão $$y = \frac{\tan x \cos x + \sec x \cot x}{2 \csc x}$$ 22. Substituindo os valores: - $$\tan x \cos x = (-1) \times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ - $$\sec x \cot x = (-\sqrt{2}) \times (-1) = \sqrt{2}$$ - Soma no numerador: $$\frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$$ - Denominador: $$2 \csc x = 2 \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$$ 23. Dividindo: $$y = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{3}{4}$$ Resposta final: - 6c) $\frac{5\pi}{3}$ radianos = 300 graus - 6d) 120 graus = $\frac{2\pi}{3}$ radianos - 7a) Razões trigonométricas do triângulo 1 conforme item 11 - 7b) Lado desconhecido $a = 5\sqrt{2}$ cm - 8a) Funções trigonométricas conforme item 20 - 8b) Valor da expressão $y = \frac{3}{4}$