1. Vamos resolver a questão 6 c) que pede converter $\frac{5\pi}{3}$ radianos para graus. 2. A fórmula para converter radianos em graus é: $$\text{graus} = \text{radianos} \times \frac{180}{\pi}$$ 3. Aplicando a fórmula: $$\frac{5\pi}{3} \times \frac{180}{\pi} = \frac{5 \times 180}{3} = 5 \times 60 = 300$$ 4. Portanto, $\frac{5\pi}{3}$ radianos equivalem a 300 graus. --- 5. Agora, questão 6 d) que pede converter 120 graus para radianos. 6. A fórmula para converter graus em radianos é: $$\text{radianos} = \text{graus} \times \frac{\pi}{180}$$ 7. Aplicando a fórmula: $$120 \times \frac{\pi}{180} = \frac{120}{180} \pi = \frac{2}{3} \pi$$ 8. Portanto, 120 graus equivalem a $\frac{2\pi}{3}$ radianos. --- 9. Passando para a questão 7 a), triângulo 1, com base 4 cm e hipotenusa $3 + \sqrt{5}$ cm, e ângulo $\alpha$ oposto à base. 10. Para encontrar as razões trigonométricas, precisamos do cateto oposto, que é a base 4 cm, e do cateto adjacente, que vamos chamar de $b$. 11. Usando o Teorema de Pitágoras: $$b = \sqrt{(3 + \sqrt{5})^2 - 4^2}$$ 12. Calculando: $$(3 + \sqrt{5})^2 = 3^2 + 2 \times 3 \times \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 9 + 6\sqrt{5} + 5 = 14 + 6\sqrt{5}$$ $$b = \sqrt{14 + 6\sqrt{5} - 16} = \sqrt{-2 + 6\sqrt{5}}$$ 13. Aproximando $\sqrt{5} \approx 2.236$: $$b \approx \sqrt{-2 + 6 \times 2.236} = \sqrt{-2 + 13.416} = \sqrt{11.416} \approx 3.38$$ 14. Agora, as razões trigonométricas para o ângulo $\alpha$ são: - $\sin \alpha = \frac{\text{oposto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{4}{3 + \sqrt{5}}$ - $\cos \alpha = \frac{\text{adjacente}}{\text{hipotenusa}} = \frac{b}{3 + \sqrt{5}} \approx \frac{3.38}{3 + 2.236} = \frac{3.38}{5.236} \approx 0.646$ - $\tan \alpha = \frac{\text{oposto}}{\text{adjacente}} = \frac{4}{b} \approx \frac{4}{3.38} \approx 1.183$ --- 15. Questão 7 b), triângulo 2 com hipotenusa 5 cm e um ângulo de 45°. 16. Em um triângulo retângulo com um ângulo de 45°, os catetos são iguais. 17. Usando o Teorema de Pitágoras: $$\text{cateto} = \frac{\text{hipotenusa}}{\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \approx 3.54$$ 18. Portanto, o lado desconhecido mede aproximadamente 3.54 cm. --- 19. Questão 8 a), dado que $\cot x = -1$, calcular as demais funções trigonométricas. 20. Sabemos que $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} = -1$ implica que $\cos x = -\sin x$. 21. Usando a identidade $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$: $$\sin^2 x + (-\sin x)^2 = 1 \Rightarrow 2 \sin^2 x = 1 \Rightarrow \sin^2 x = \frac{1}{2}$$ 22. Logo: $$\sin x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos x = \mp \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 23. Como $\cot x = -1$, $\sin x$ e $\cos x$ têm sinais opostos. 24. Portanto, as funções são: - $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ - $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ - $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = -1$ - $\sec x = \frac{1}{\cos x} = -\sqrt{2}$ - $\csc x = \frac{1}{\sin x} = \sqrt{2}$ - $\cot x = -1$ --- 25. Questão 8 b), calcular: $$y = \frac{\tan x \cos x + \sec x \cot x}{2 \cos x}$$ 26. Substituindo os valores: $$\tan x \cos x = (-1) \times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\sec x \cot x = (-\sqrt{2}) \times (-1) = \sqrt{2}$$ 27. Somando: $$\tan x \cos x + \sec x \cot x = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{2\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$$ 28. Dividindo por $2 \cos x$: $$2 \cos x = 2 \times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\sqrt{2}$$ 29. Portanto: $$y = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{-\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{-\sqrt{2}} = \frac{3}{2} \times (-1) = -\frac{3}{2}$$ 30. Resposta final: $y = -\frac{3}{2}$.