1. Problema: Verificar as propriedades da relação \(\rho = \{(x,y) \in \mathbb{Z}^2 : x \leq y^2\}\). 2. Reflexividade: Para toda \(x \in \mathbb{Z}\), temos \(x \leq x^2\)? - Se \(x = 0\), \(0 \leq 0\) verdadeiro. - Se \(x = 1\), \(1 \leq 1\) verdadeiro. - Se \(x = -1\), \(-1 \leq 1\) verdadeiro. - Para valores maiores que 1 ou menores que -1, \(x \leq x^2\) também é verdadeiro pois \(x^2\) é positivo. Logo, a relação é reflexiva. 3. Simetria: Se \((x,y) \in \rho\), então \(x \leq y^2\). Para ser simétrica, \(y \leq x^2\) deve valer também. - Exemplo contra: \(x=3, y=1\) tem \(3 \leq 1^2=1\) falso, então \((3,1) \notin \rho\) mas \(1 \leq 3^2=9\) verdadeiro, ou seja não é simétrica. 4. Transitividade: Se \((x,y) \in \rho\) e \((y,z) \in \rho\), então \(x \leq y^2\) e \(y \leq z^2\) não garantem \(x \leq z^2\). - Exemplo contra: \(x=3, y=1, z=0\) temos: \(3 \leq 1^2=1\) falso, mas para exemplo válido: \(x=2, y=1, z=1\): \(2 \leq 1\) falso, precisamos ajustar. Considere \(x=1, y=-1, z=0\): \(1 \leq (-1)^2=1\) verdadeiro \(-1 \leq 0^2=0\) verdadeiro Mas \(1 \leq 0^2=0\) falso Portanto, não é transitiva. 5. Anti-simetria: Se \((x,y) \in \rho\) e \((y,x) \in \rho\), então \(x = y\)? - Exemplo: \(x=1\) e \(y=-1\) \(1 \leq (-1)^2=1\) verdadeiro \(-1 \leq 1^2=1\) verdadeiro Mas \(1 \neq -1\), logo não é anti-simétrica. 6. Relação de equivalência requer reflexiva, simétrica e transitiva. Esta relação não é simétrica nem transitiva, logo não é relação de equivalência. 7. Relação de ordem requer reflexiva, anti-simétrica e transitiva. Esta relação não é anti-simétrica nem transitiva, logo não é relação de ordem.