1. Problema: Determine a opção correta para cada questão dada. 2. Questão 1: Seja $a$ um número irracional e $x$ um número racional não nulo. Analisamos as opções: - $a + x$ é racional? Não necessariamente, pois soma de irracional com racional pode ser irracional. - $ax$ é racional? Produto de irracional por racional não nulo é irracional. - $x/a$ é irracional? Divisão de racional por irracional é irracional. - $a^{-1}$ é racional? Inverso de irracional é irracional. Resposta correta: ☑ $x/a$ é irracional. 3. Questão 2: Seja $W = [1, +\infty[ \cup ]-5, -1] \cup \{0\}$. - $-1 \in W_+' \cup W_-'$? Pontos de acumulação à direita e esquerda de $W$. - $0 \in W'$? $0$ é ponto isolado, não ponto de acumulação. - $W$ é limitado? Não, pois $[1, +\infty[$ é ilimitado. - $-5 \in W_+' \cap W_-'$? $-5$ é limite inferior do intervalo aberto à esquerda. Resposta correta: ☑ $-1 \in W_+' \cup W_-'$. 4. Questão 3: Função $f(x) = |x^3(1 - x)(9 - x^2)|$ no intervalo $[0,1]$. Expandindo: $$x^3(1 - x)(9 - x^2) = x^3(9 - x^2 - 9x + x^3) = x^3(9 - 9x - x^2 + x^3)$$ Resposta correta: ☑ $f(x) = x^3(9x - x^3 - 9 + x^2)$. 5. Questão 4: $f(x) = e^{x^2} - 1$ invertível em $[-1,0]$. Para $y = e^{x^2} - 1$, isolamos $x$: $$y + 1 = e^{x^2} \Rightarrow x^2 = \ln(y + 1) \Rightarrow x = -\sqrt{\ln(y + 1)}$$ Resposta correta: ☑ $f^{-1}(x) = -\sqrt{\ln(y + 1)}$. 6. Questão 5: $f(e^{4x}) = (x^2 + x + 1)^2$, derivando em $x=0$: $$\frac{d}{dx}f(e^{4x}) = f'(e^{4x}) \cdot 4e^{4x} = 2(x^2 + x + 1)(2x + 1)$$ Em $x=0$: $$f'(1) \cdot 4 = 2(1)(1) = 2 \Rightarrow f'(1) = \frac{1}{2}$$ Resposta correta: ☑ $f'(1) = 1/2$. 7. Verdadeiro ou Falso com justificativa: 1) $|x-1| + |x-2| \geq 1$ para todo $x \in \mathbb{R}$ é verdadeiro. 2) Supremo do conjunto dado não é $11/2$, é falso. 3) $f(x) = x \sin(x+1)$ não é limitada, falso. 4) $f(x) = x \sin(1/x)$ com $f(0)=0$ é derivável em 0, verdadeiro. 5) Teorema de Rolle para $f(x) = |x-1|$ não se aplica pois $f$ não é diferenciável em 1, falso. 8. Parte III: (a) $f(x) = \sqrt{|x-2|}$ é contínua em todo domínio. (b) Derivada em $x=1$: $$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{|x-2|}} \cdot \frac{d}{dx}|x-2| = \frac{1}{2\sqrt{2-x}} \cdot (-1) = -\frac{1}{2}\quad \text{em } x=1$$ Equação da reta tangente em $(1,1)$: $$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1)$$ (c) Derivada em $x=2$ não existe pois $f$ tem canto. 9. Função $g(x) = e^x + 3x$: (a) $(g \circ g)'(0) = g'(g(0)) \cdot g'(0)$ $$g(0) = 1, \quad g'(x) = e^x + 3$$ $$g'(1) = e + 3, \quad g'(0) = 4$$ $$\Rightarrow (g \circ g)'(0) = (e + 3) \cdot 4 = 4e + 12$$ (b) Usando Bolzano e Rolle, $g$ tem único zero $x_0$ em $(-1,0)$. (c) Limite: $$\lim_{x \to 0} g(x)^{\frac{1}{4x}} = \lim_{x \to 0} (e^x + 3x)^{\frac{1}{4x}}$$ Usando expansão e regra de Cauchy, o limite é $e^{1/4}$. Resposta final: 1) ☑ $x/a$ é irracional 2) ☑ $-1 \in W_+' \cup W_-'$ 3) ☑ $f(x) = x^3(9x - x^3 - 9 + x^2)$ 4) ☑ $f^{-1}(x) = -\sqrt{\ln(y + 1)}$ 5) ☑ $f'(1) = 1/2$ V/F: 1) V 2) F 3) F 4) V 5) F Parte III: a) Contínua em todo domínio b) Derivável em 1, reta tangente $y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1)$ c) Derivada não existe em 2 d) $(g \circ g)'(0) = 4e + 12$ e) Único zero $x_0 \in (-1,0)$ f) Limite $= e^{1/4}$