1. **Problema:** Escrever a matriz $M = (a_{ij})$ de ordem $2 \times 3$ com as condições dadas. 2. **Fórmulas e regras:** - Para $i = j$, $a_j = \frac{1}{2}(i^2 + j) - 3i$ - Para $i \neq j$, $a_u = 2(t - j)' + 3j$ (a fórmula parece incompleta, assumiremos $a_{ij} = 2(t - j) + 3j$ para $i \neq j$) 3. **Construção da matriz:** - Ordem $2 \times 3$ significa 2 linhas e 3 colunas. - Para $i=1, j=1$: $a_{11} = \frac{1}{2}(1^2 + 1) - 3 \times 1 = \frac{1}{2}(2) - 3 = 1 - 3 = -2$ - Para $i=2, j=2$: $a_{22} = \frac{1}{2}(2^2 + 2) - 3 \times 2 = \frac{1}{2}(4 + 2) - 6 = 3 - 6 = -3$ - Para os demais elementos (onde $i \neq j$), assumindo $t = i$: - $a_{12} = 2(1 - 2) + 3 \times 2 = 2(-1) + 6 = -2 + 6 = 4$ - $a_{13} = 2(1 - 3) + 3 \times 3 = 2(-2) + 9 = -4 + 9 = 5$ - $a_{21} = 2(2 - 1) + 3 \times 1 = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5$ - $a_{23} = 2(2 - 3) + 3 \times 3 = 2(-1) + 9 = -2 + 9 = 7$ 4. **Matriz $M$ final:** $$ M = \begin{pmatrix} -2 & 4 & 5 \\ 5 & -3 & 7 \end{pmatrix} $$ --- 1. **Problema:** Calcular: (a) $2A - 3B^T$ (b) $(I + B^T) \times (A^T - B)$ 2. **Dados:** $$ A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \\ -2 & 3\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1\end{pmatrix} $$ 3. **Cálculos:** - $B^T = \begin{pmatrix}2 & 0 \\ -1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ - $2A = \begin{pmatrix}2 & 0 \\ 2 & 2 \\ -4 & 6\end{pmatrix}$ - $3B^T = \begin{pmatrix}6 & 0 \\ -3 & 6 \\ 0 & 3\end{pmatrix}$ (a) $2A - 3B^T = \begin{pmatrix}2-6 & 0-0 \\ 2-(-3) & 2-6 \\ -4-0 & 6-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4 & 0 \\ 5 & -4 \\ -4 & 3\end{pmatrix}$ (b) Calcular $I + B^T$ (assumindo $I$ identidade $3 \times 3$): $$ I = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} $$ $$ I + B^T = \begin{pmatrix}1+2 & 0 & 0 \\ 0-1 & 1+2 & 0 \\ 0 & 0+1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & 0 & 0 \\ -1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix} $$ Calcular $A^T - B$: $$ A^T = \begin{pmatrix}1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 3\end{pmatrix} $$ $$ A^T - B = \begin{pmatrix}1-2 & 1-(-1) & -2-0 \\ 0-0 & 1-2 & 3-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 2\end{pmatrix} $$ Multiplicação $(I + B^T)(A^T - B)$: $$ \begin{pmatrix}3 & 0 & 0 \\ -1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-1 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 2 \\ \text{incompatível} \end{pmatrix} $$ As dimensões não são compatíveis para multiplicação (3x3) x (2x3) não é possível. Portanto, não é possível calcular (b) com as matrizes dadas. --- 1. **Problema:** Resolver o sistema matricial: $$ x + y = A - 2B$$ $$ x - y = 2A - B$$ 2. **Dados:** $$ I = \begin{pmatrix}1 & 3 \\ 3 & 0 \\ 1 & -3\end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 2 & -1 \\ 0 & 3\end{pmatrix} $$ 3. **Solução:** Somar as duas equações: $$ (x + y) + (x - y) = (A - 2B) + (2A - B) \Rightarrow 2x = 3A - 3B \Rightarrow x = \frac{3}{2}(A - B) $$ Subtrair as duas equações: $$ (x + y) - (x - y) = (A - 2B) - (2A - B) \Rightarrow 2y = -A - B \Rightarrow y = -\frac{1}{2}(A + B) $$ --- 1. **Problema:** Determinar $M \cdot A^T - a \cdot M^{-1}$ para $$ M = \begin{pmatrix}3 & -1 \\ 2 & -3\end{pmatrix} $$ 2. **Cálculo da inversa de $M$:** $$ \det(M) = 3 \times (-3) - (-1) \times 2 = -9 + 2 = -7 $$ $$ M^{-1} = \frac{1}{-7} \begin{pmatrix}-3 & 1 \\ -2 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3/7 & -1/7 \\ 2/7 & -3/7\end{pmatrix} $$ 3. **Multiplicação $M \cdot A^T$:** Sem $A$ fornecida, não é possível calcular exatamente. O problema está incompleto para cálculo final. --- 1. **Problema:** Resolver a equação matricial: $$ \begin{vmatrix}x & 3 & 2 \\ 8 & 6 & 4 \\ 5 & 12 & x\end{vmatrix} = 0 $$ 2. **Cálculo do determinante:** $$ \det = x \times \begin{vmatrix}6 & 4 \\ 12 & x\end{vmatrix} - 3 \times \begin{vmatrix}8 & 4 \\ 5 & x\end{vmatrix} + 2 \times \begin{vmatrix}8 & 6 \\ 5 & 12\end{vmatrix} $$ 3. **Determinantes menores:** $$ = x(6x - 48) - 3(8x - 20) + 2(96 - 30) $$ $$ = 6x^2 - 48x - 24x + 60 + 132 $$ $$ = 6x^2 - 72x + 192 $$ 4. **Equação:** $$ 6x^2 - 72x + 192 = 0 $$ Dividindo por 6: $$ x^2 - 12x + 32 = 0 $$ 5. **Resolvendo a equação quadrática:** $$ \Delta = (-12)^2 - 4 \times 1 \times 32 = 144 - 128 = 16 $$ $$ x = \frac{12 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{12 \pm 4}{2} $$ $$ x_1 = \frac{12 + 4}{2} = 8, \quad x_2 = \frac{12 - 4}{2} = 4 $$ **Resposta final:** $x = 8$ ou $x = 4$