1. O problema pede para escrever a função $f(x) = -2x^2 + 3x + 5$ na forma canônica $a(x - h)^2 + k$, onde $a \in \mathbb{R}^-$ e $(h,k)$ é o vértice da parábola. 2. A fórmula para converter a forma geral $ax^2 + bx + c$ para a forma canônica é: $$f(x) = a(x - h)^2 + k \quad \text{com} \quad h = -\frac{b}{2a} \quad \text{e} \quad k = f(h)$$ 3. Calculamos $h$: $$h = -\frac{3}{2 \times (-2)} = -\frac{3}{-4} = \frac{3}{4}$$ 4. Calculamos $k = f\left(\frac{3}{4}\right)$: $$k = -2\left(\frac{3}{4}\right)^2 + 3\left(\frac{3}{4}\right) + 5 = -2\times \frac{9}{16} + \frac{9}{4} + 5 = -\frac{18}{16} + \frac{9}{4} + 5 = -\frac{9}{8} + \frac{9}{4} + 5$$ 5. Simplificando: $$-\frac{9}{8} + \frac{18}{8} + \frac{40}{8} = \frac{49}{8}$$ 6. Assim, a forma canônica é: $$f(x) = -2\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 + \frac{49}{8}$$ --- 7. Para o ponto $B$ com abscissa $b$ no 1º quadrante, temos $b > 0$ e $f(b) = -2b^2 + 3b + 5$. 8. O retângulo $[OABC]$ tem vértices $O(0,0)$, $A(b,0)$, $B(b,f(b))$, $C(0,f(b))$. 9. A área do retângulo é: $$A(b) = \text{base} \times \text{altura} = b \times f(b) = b(-2b^2 + 3b + 5) = -2b^3 + 3b^2 + 5b$$ 10. Para maximizar $A(b)$, derivamos e igualamos a zero: $$A'(b) = -6b^2 + 6b + 5 = 0$$ 11. Resolvendo a equação quadrática: $$-6b^2 + 6b + 5 = 0 \Rightarrow 6b^2 - 6b - 5 = 0$$ 12. Aplicando a fórmula de Bhaskara: $$b = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \times 6 \times (-5)}}{2 \times 6} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 120}}{12} = \frac{6 \pm \sqrt{156}}{12}$$ 13. Calculando a raiz: $$\sqrt{156} \approx 12.49$$ 14. As soluções são: $$b_1 = \frac{6 + 12.49}{12} = 1.54, \quad b_2 = \frac{6 - 12.49}{12} = -0.54$$ 15. Como $b > 0$ no 1º quadrante, tomamos $b = 1.54$ (arredondado para centésimas). 16. Portanto, a área do retângulo $[OABC]$ é máxima para $b \approx 1.54$. --- Resposta final: - 6.1: $$f(x) = -2\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 + \frac{49}{8}$$ - 6.2: $$A(b) = -2b^3 + 3b^2 + 5b$$ com máximo em $$b \approx 1.54$$