1. **Problema:** Converter os arcos dados entre graus e radianos. 2. **Fórmulas importantes:** - Para converter graus em radianos: $$\text{radianos} = \text{graus} \times \frac{\pi}{180}$$ - Para converter radianos em graus: $$\text{graus} = \text{radianos} \times \frac{180}{\pi}$$ 3. **Conversão dos arcos:** - a) Converter 250° e 20°8' em radianos. - Para 250°: $$250 \times \frac{\pi}{180} = \frac{250\pi}{180} = \frac{25\pi}{18}$$ radianos. - Para 20°8': Primeiro converter 8 minutos em graus: $$8' = \frac{8}{60} = \frac{2}{15}$$ graus. - Soma: $$20 + \frac{2}{15} = \frac{300}{15} + \frac{2}{15} = \frac{302}{15}$$ graus. - Em radianos: $$\frac{302}{15} \times \frac{\pi}{180} = \frac{302\pi}{2700} = \frac{151\pi}{1350}$$ radianos. - b) Converter $$\frac{\pi}{3}$$ e 6 rad em graus. - Para $$\frac{\pi}{3}$$: $$\frac{\pi}{3} \times \frac{180}{\pi} = 60^\circ$$. - Para 6 rad: $$6 \times \frac{180}{\pi} = \frac{1080}{\pi} \approx 343.77^\circ$$. --- 4. **Funções dadas:** - a) $$f(x) = \left(\frac{1}{1 - 2\sin x}\right)^{-1} = 1 - 2\sin x$$ (pois $$\left(\frac{1}{A}\right)^{-1} = A$$). - b) $$f(x) = 2\cos x$$. --- 5. **Problema do triângulo (ângulos de observação):** - Dados: ângulos 30° e 60°, base $$d = 10m$$. - Triângulo retângulo com lados $$a$$, $$b$$ e altura $$h$$. 6. **Determinar distância $$d$$ entre os estudantes:** - Pelo desenho, $$d = 10m$$ (dado). 7. **Determinar distâncias de observação $$a$$ e $$b$$:** - Usando trigonometria no triângulo: - Para o ângulo de 30°: $$\tan 30^\circ = \frac{h}{b} \Rightarrow b = \frac{h}{\tan 30^\circ} = h \sqrt{3}$$. - Para o ângulo de 60°: $$\tan 60^\circ = \frac{h}{a} \Rightarrow a = \frac{h}{\tan 60^\circ} = \frac{h}{\sqrt{3}}$$. 8. **Determinar altura $$h$$ do edifício:** - A distância total $$d = a + b = \frac{h}{\sqrt{3}} + h\sqrt{3} = h\left(\frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3}\right) = h \times \frac{4}{\sqrt{3}}$$. - Como $$d = 10m$$, temos: $$10 = h \times \frac{4}{\sqrt{3}} \Rightarrow h = \frac{10 \sqrt{3}}{4} = \frac{5 \sqrt{3}}{2} \approx 4.33m$$. 9. **Calcular $$a$$ e $$b$$:** - $$a = \frac{h}{\sqrt{3}} = \frac{5 \sqrt{3}/2}{\sqrt{3}} = \frac{5}{2} = 2.5m$$. - $$b = h \sqrt{3} = \frac{5 \sqrt{3}}{2} \times \sqrt{3} = \frac{5 \times 3}{2} = 7.5m$$. **Resposta final:** - a) Distância entre estudantes $$d = 10m$$. - b) Distâncias de observação $$a = 2.5m$$ e $$b = 7.5m$$. - c) Altura do edifício $$h \approx 4.33m$$.