1. Vamos entender o que significa a matriz de uma relação de equivalência $\rho$ no conjunto $A=[9]$. A matriz $M_{\rho}$ é tal que o elemento na posição $(i,j)$ é 1 se $(i,j) \in \rho$ e 0 caso contrário. 2. A relação $\rho$ é dada pelo conjunto quociente: $$A/\rho = \{\{1,3,5,9\}, \{2,4,6,8\}, \{7\}\}$$ Isso indica que os elementos dentro de cada conjunto pertencem à mesma classe de equivalência. 3. Portanto, o par $(i,j)$ pertence a $\rho$ se e somente se $i$ e $j$ estão na mesma classe. 4. Vamos analisar cada posição solicitada: - $(M_{\rho})_{32}$: os elementos 3 e 2. 3 está na classe $\{1,3,5,9\}$. 2 está na classe $\{2,4,6,8\}$. Como 3 e 2 não estão na mesma classe, $(M_{\rho})_{32} = 0$. - $(M_{\rho})_{57}$: os elementos 5 e 7. 5 está na classe $\{1,3,5,9\}$. 7 está na classe $\{7\}$. Como 5 e 7 não estão na mesma classe, $(M_{\rho})_{57} = 0$. - $(M_{\rho})_{78}$: os elementos 7 e 8. 7 está na classe $\{7\}$. 8 está na classe $\{2,4,6,8\}$. Como 7 e 8 não estão na mesma classe, $(M_{\rho})_{78} = 0$. - $(M_{\rho})_{24}$: os elementos 2 e 4. 2 está na classe $\{2,4,6,8\}$. 4 está na mesma classe $\{2,4,6,8\}$. Como 2 e 4 estão na mesma classe, $(M_{\rho})_{24} = 1$. Resposta final: $$ (M_{\rho})_{32} = 0 $$ $$ (M_{\rho})_{57} = 0 $$ $$ (M_{\rho})_{78} = 0 $$ $$ (M_{\rho})_{24} = 1 $$