1. Vamos definir o problema: temos um retângulo de papelão com dimensões $7X$ cm de largura e $5Y$ cm de comprimento, onde $X$ e $Y$ são os primeiros e segundos algarismos do código RU, respectivamente. No exemplo dado, RU = 1139693, então $X=1$ e $Y=1$. Portanto, as dimensões do retângulo são $7 \times 1 = 7$ cm de largura e $5 \times 1 = 5$ cm de comprimento. 2. Para construir a caixa sem tampa, cortamos quadrados de lado $x$ cm em cada canto do retângulo. Após os cortes, a caixa terá altura $x$, largura $(7 - 2x)$ e comprimento $(5 - 2x)$. 3. O volume $V$ da caixa é dado pelo produto da altura pela largura e comprimento: $$V = x \times (7 - 2x) \times (5 - 2x)$$ 4. Expandindo a expressão para facilitar a derivação: $$V = x (35 - 14x - 10x + 4x^2) = x (35 - 24x + 4x^2) = 35x - 24x^2 + 4x^3$$ 5. Para encontrar o volume máximo, calculamos a derivada de $V$ em relação a $x$ e igualamos a zero: $$\frac{dV}{dx} = 35 - 48x + 12x^2 = 0$$ 6. Resolvendo a equação quadrática: $$12x^2 - 48x + 35 = 0$$ Usamos a fórmula de Bhaskara: $$x = \frac{48 \pm \sqrt{(-48)^2 - 4 \times 12 \times 35}}{2 \times 12} = \frac{48 \pm \sqrt{2304 - 1680}}{24} = \frac{48 \pm \sqrt{624}}{24}$$ 7. Calculando a raiz: $$\sqrt{624} \approx 24.98$$ Assim: $$x_1 = \frac{48 + 24.98}{24} \approx 3.04$$ $$x_2 = \frac{48 - 24.98}{24} \approx 0.96$$ 8. Como $x$ deve ser menor que metade da menor dimensão para que a caixa seja possível, descartamos $x_1 = 3.04$ (pois $7/2=3.5$ e $5/2=2.5$, $3.04$ é maior que $2.5$). Portanto, a solução válida é $x \approx 0.96$ cm. 9. Calculando o volume máximo substituindo $x=0.96$: $$V = 0.96 \times (7 - 2 \times 0.96) \times (5 - 2 \times 0.96) = 0.96 \times 5.08 \times 3.08 \approx 15.03 \text{ cm}^3$$ 10. Resumo: O volume máximo da caixa é aproximadamente $15.03$ cm³ quando os quadrados cortados têm lado $0.96$ cm.