1. **Асуудлыг тодорхойлох:** Өгөгдсөн санамсаргүй вектор $\mathbf{X} = (X_1, X_2, X_3, X_4) = (0, 4.26, 4, 1)$ утга нь аль категорт харьяалагдахыг Гэнэн Байесын алгоритмаар олох. 2. **Гэнэн Байесын алгоритмын томьёо:** $$\arg\max_k P(C_k) \prod_{i=1}^4 P(X_i|C_k)$$ Энд $P(C_k)$ нь $k$-р категорт харьяалагдах приор магадлал, $P(X_i|C_k)$ нь $i$-р хувьсагчийн $k$-р категорт хамаарах нөхцөлт магадлал. 3. **Өгөгдсөн приор магадлалууд:** $$P(C_1) = 0.369, \quad P(C_2) = 0.631$$ 4. **Өгөгдсөн нөхцөлт магадлалууд:** \begin{align*} P(X_1=0|C_1) &= 0.560000 \\ P(X_2=4.26|C_1) &= \text{тооцоолох шаардлагатай} \\ P(X_3=4|C_1) &= 0.000117 \\ P(X_4=1|C_1) &= 0.068982 \\ P(X_1=0|C_2) &= 0.440000 \\ P(X_2=4.26|C_2) &= \text{тооцоолох шаардлагатай} \\ P(X_3=4|C_2) &= 0.081203 \\ P(X_4=1|C_2) &= 0.367577 \end{align*} 5. **Хэвийн тархалтын $X_2$ хувьсагчийн магадлалыг тооцоолох:** Хэвийн тархалтын магадлалын нягтын функц: $$f(x|\mu, \sigma) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$ Өгөгдсөн параметрүүд: \begin{align*} \mu_1 &= 3.079, \quad \sigma_1 = 0.770 \\ \mu_2 &= 4.732, \quad \sigma_2 = 1.407 \end{align*} 6. **$P(X_2=4.26|C_1)$ тооцоолол:** $$ P(X_2=4.26|C_1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \times 0.770} e^{-\frac{(4.26 - 3.079)^2}{2 \times 0.770^2}} $$ $$ = \frac{1}{1.928} e^{-\frac{1.408}{1.186}} = 0.519 \times e^{-1.186} = 0.519 \times 0.305 = 0.158 $$ 7. **$P(X_2=4.26|C_2)$ тооцоолол:** $$ P(X_2=4.26|C_2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \times 1.407} e^{-\frac{(4.26 - 4.732)^2}{2 \times 1.407^2}} $$ $$ = \frac{1}{3.523} e^{-\frac{0.222}{3.956}} = 0.284 \times e^{-0.056} = 0.284 \times 0.945 = 0.268 $$ 8. **Постериор магадлалын тооцоолол:** \begin{align*} P(C_1) \prod_{i=1}^4 P(X_i|C_1) &= 0.369 \times 0.560 \times 0.158 \times 0.000117 \times 0.068982 \\ &= 0.369 \times 0.560 = 0.20664 \\ &\quad 0.20664 \times 0.158 = 0.03263 \\ &\quad 0.03263 \times 0.000117 = 0.00000382 \\ &\quad 0.00000382 \times 0.068982 = 0.000000263 \end{align*} \begin{align*} P(C_2) \prod_{i=1}^4 P(X_i|C_2) &= 0.631 \times 0.440 \times 0.268 \times 0.081203 \times 0.367577 \\ &= 0.631 \times 0.440 = 0.27764 \\ &\quad 0.27764 \times 0.268 = 0.07439 \\ &\quad 0.07439 \times 0.081203 = 0.00604 \\ &\quad 0.00604 \times 0.367577 = 0.00222 \end{align*} 9. **Дүгнэлт:** $$P(C_1) \prod P(X_i|C_1) = 2.63 \times 10^{-7}$$ $$P(C_2) \prod P(X_i|C_2) = 0.00222$$ Иймд $\mathbf{X} = (0,4.26,4,1)$ вектор нь $C_2$ категорт харьяалагдана. **Эцсийн хариу:** $\boxed{C_2}$