1. **Énoncé du problème :** Un pendule constitué d'une tige homogène de masse $m$, longueur $L$, pivotée en $O$, lâchée sans vitesse initiale à un angle $\theta$ de la verticale. 2. **Calcul du moment d'inertie $J_{0z}$ de la barre par rapport à l'axe $OZ$ :** Le moment d'inertie d'une tige homogène de masse $m$ et longueur $L$ autour d'un axe passant par une extrémité perpendiculaire à la tige est donné par la formule : $$J_{0z} = \frac{1}{3} m L^2$$ Ceci vient de l'intégration de $r^2 dm$ le long de la tige. 3. **Torseurs au point pivot $O$ :** a) Torseur cinématique $\mathcal{V}_O$ : - Vitesse angulaire $\vec{\omega} = \dot{\theta} \vec{z}$ - Vitesse linéaire du centre d'inertie $G$ : $\vec{v}_G = \vec{\omega} \times \vec{OG} = \dot{\theta} \vec{z} \times \left(\frac{L}{2} \vec{u}\right)$ b) Torseur cinétique $\mathcal{K}_O$ : - Moment cinétique $\vec{L}_O = J_{0z} \dot{\theta} \vec{z}$ - Quantité de mouvement $\vec{P} = m \vec{v}_G$ c) Torseur dynamique $\mathcal{D}_O$ : - Moment dynamique $\vec{M}_O = \frac{d}{dt} \vec{L}_O = J_{0z} \ddot{\theta} \vec{z}$ - Force dynamique $\vec{F} = m \vec{a}_G$ 4. **Énergie cinétique de la barre :** L'énergie cinétique totale est la somme de l'énergie de rotation autour de $G$ et de la translation de $G$ : $$E_c = \frac{1}{2} J_G \dot{\theta}^2 + \frac{1}{2} m v_G^2$$ Avec $J_G = \frac{1}{12} m L^2$ moment d'inertie autour de $G$ et $v_G = \frac{L}{2} \dot{\theta}$ Calcul : $$E_c = \frac{1}{2} \times \frac{1}{12} m L^2 \dot{\theta}^2 + \frac{1}{2} m \left(\frac{L}{2} \dot{\theta}\right)^2 = \frac{1}{24} m L^2 \dot{\theta}^2 + \frac{1}{8} m L^2 \dot{\theta}^2 = \frac{1}{6} m L^2 \dot{\theta}^2$$ 5. **Torseur des forces exercées sur la barre :** - Poids $\vec{P} = - m g \vec{y}$ appliqué au centre d'inertie $G$ - Réaction du pivot $O$ (force et moment inconnus) 6. **Application du Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) :** Projection sur l'axe de rotation $z$ : $$J_{0z} \ddot{\theta} = - m g \frac{L}{2} \sin \theta$$ 7. **Équation du mouvement via le théorème de l'énergie cinétique :** L'énergie potentielle gravitationnelle est : $$E_p = m g \frac{L}{2} (1 - \cos \theta)$$ Le théorème d'énergie cinétique donne : $$\frac{d}{dt} E_c = - \frac{d}{dt} E_p$$ Soit : $$\frac{d}{dt} \left( \frac{1}{6} m L^2 \dot{\theta}^2 \right) = - m g \frac{L}{2} \sin \theta \dot{\theta}$$ Ce qui conduit à l'équation différentielle : $$J_{0z} \ddot{\theta} + m g \frac{L}{2} \sin \theta = 0$$ **Réponse finale :** $$J_{0z} = \frac{1}{3} m L^2$$ $$J_{0z} \ddot{\theta} + m g \frac{L}{2} \sin \theta = 0$$