1. Énoncé du problème : Soit $R$ une relation définie sur $\mathbb{N}$ par : $$xRy \iff \frac{2x + y}{3} \in \mathbb{N}$$ Nous devons : 1. Déterminer si $7725 R 6729$ et $7725 R 4784$. 2. Montrer que $R$ est une relation d'équivalence sur $\mathbb{N}$. 3. Déterminer la classe d'équivalence $[7]$ de l'élément $7 \in \mathbb{N}$. 2. Étape 1 : Vérification de $7725 R 6729$ et $7725 R 4784$ - Calculons $\frac{2\times 7725 + 6729}{3} = \frac{15450 + 6729}{3} = \frac{22179}{3} = 7393$, qui est un entier donc $7725R6729$ est vrai. - Calculons $\frac{2\times 7725 + 4784}{3} = \frac{15450 + 4784}{3} = \frac{20234}{3} \approx 6744.666\ldots$, pas entier donc $7725R4784$ est faux. 3. Étape 2 : Montrer que $R$ est une relation d'équivalence - Réflexivité : Pour tout $x$, $\frac{2x + x}{3} = x$ est dans $\mathbb{N}$, donc $xRx$. - Symétrie : Supposons $xRy$, alors $\frac{2x + y}{3} = k$ entier. On peut exprimer $y = 3k - 2x$. Pour $yRx$, on doit vérifier que $\frac{2y + x}{3} \in \mathbb{N}$. Calculons: $$\frac{2y + x}{3} = \frac{2(3k - 2x) + x}{3} = \frac{6k - 4x + x}{3} = \frac{6k - 3x}{3} = 2k - x$$ qui est un entier, donc $yRx$. Ainsi la relation est symétrique. - Transitivité : Soient $xRy$ et $yRz$, donc $\frac{2x + y}{3} = k$ entier et $\frac{2y + z}{3} = l$ entier. Exprimons $y = 3k - 2x$ et $z = 3l - 2y$. Calculons $\frac{2x + z}{3}$: $$\frac{2x + z}{3} = \frac{2x + (3l - 2y)}{3} = \frac{2x + 3l - 2y}{3}$$ Substituons $y = 3k - 2x$: $$= \frac{2x + 3l - 2(3k - 2x)}{3} = \frac{2x + 3l - 6k + 4x}{3} = \frac{6x + 3l - 6k}{3} = 2x + l - 2k$$ qui est un entier. Donc $xRz$, ce qui prouve la transitivité. Donc $R$ est une relation d'équivalence sur $\mathbb{N}$. 4. Étape 3 : Déterminer la classe d'équivalence $[7]$ La classe d'équivalence $[7]$ est l'ensemble des $y \in \mathbb{N}$ tels que $7Ry$, c'est-à-dire que: $$\frac{2\times 7 + y}{3} = \frac{14 + y}{3} \in \mathbb{N}$$ Cela signifie que $14 + y$ est divisible par $3$. Autrement dit, $$14 + y \equiv 0 \pmod{3}$$ Or, $14 \equiv 2 \pmod{3}$ donc: $$2 + y \equiv 0 \pmod{3} \implies y \equiv 1 \pmod{3}$$ La classe d'équivalence $[7]$ est donc: $$[7] = \{ y \in \mathbb{N} : y \equiv 1 \pmod{3} \}$$ 5. Résumé final: - $7725R6729$ est vrai, $7725R4784$ est faux. - $R$ est une relation d'équivalence sur $\mathbb{N}$. - La classe d'équivalence de $7$ est l'ensemble des nombres naturels congrus à $1$ modulo $3$.