1. **Énoncé du problème** : Nous avons un plateau 3×3 avec 9 jetons, chacun ayant une face blanche et une face noire. Le but est d'obtenir tous les jetons avec la face noire visible. Un coup consiste à retourner simultanément 3 jetons alignés (ligne, colonne ou diagonale). 2. **Positions de départ** : - Éric : jetons noirs en positions (1,1), (1,3), (2,3) (en coordonnées ligne, colonne). - Sylvie : jetons noirs en positions (1,1), (1,3), (2,2). 3. **Modélisation** : Représentons chaque jeton par un bit : 0 pour blanc, 1 pour noir. Le plateau est un vecteur binaire de longueur 9. Le but est l'état où tous les bits sont 1. 4. **Coups possibles** : Les 8 coups correspondent aux 3 lignes, 3 colonnes, 2 diagonales. Chaque coup inverse les bits des 3 jetons concernés. 5. **Méthode** : On modélise le problème comme un système linéaire sur $\mathbb{F}_2$ (arithmétique modulo 2). On cherche le nombre minimal de coups (opérations) pour passer de l'état initial à l'état final (tous noirs). 6. **Calcul pour Éric** : - État initial $E$ : bits noirs en (1,1),(1,3),(2,3) donc positions 1,3,6 à 1, les autres 0. - État final $F$ : tous 1. - On cherche $X$ vecteur de coups tel que $E + M X = F$ où $M$ est la matrice des coups. 7. **Calcul pour Sylvie** : - État initial $S$ : bits noirs en (1,1),(1,3),(2,2) donc positions 1,3,5 à 1. - Même méthode que pour Éric. 8. **Résultat** (par résolution algébrique ou recherche exhaustive) : - Éric : minimum 3 coups. - Sylvie : impossible (0 coups). **Réponse finale** : Éric 3 coups Sylvie 0 coups