1) Montrons que $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, y \neq -4x \Rightarrow \frac{2x - y}{x + y} \neq -2$ par contraposée. 2) \textbf{Énoncé de la contraposée} : Si $\frac{2x - y}{x + y} = -2$, alors $y = -4x$. 3) Partons de $\frac{2x - y}{x + y} = -2$. Multipliant par $x + y$ (de préférence $x + y \neq 0$ sinon division impossible) : $$2x - y = -2(x + y)$$ $$2x - y = -2x - 2y$$ 4) Regroupons les termes : $$2x + 2x = -2y + y \Rightarrow 4x = -y$$ $$y = -4x$$ 5) Ainsi, en partant de $\frac{2x - y}{x + y} = -2$, on a obtenu $y = -4x$. Ce qui est la contraposée de l'énoncé initial. 6) Conclusion : La contraposée est vraie donc l'implication initiale est vraie. --- 1) Montrons que $\forall a,b \in \mathbb{R}, a + b > 3 \Rightarrow a > \frac{5}{2} \text{ ou } b > \frac{1}{2}$ par contraposée. 2) Contraposée : Si $a \leq \frac{5}{2}$ et $b \leq \frac{1}{2}$, alors $a + b \leq 3$. 3) Additionnons : $$a + b \leq \frac{5}{2} + \frac{1}{2} = 3$$ 4) Donc la contraposée est vraie, ce qui implique que l'énoncé initial est vrai. --- 1) Montrons que $\forall x,y \in \mathbb{R}, y \neq 1$ et $x \neq 1 \Rightarrow 1 + xy \neq x + y$ par contraposée. 2) Contraposée : Si $1 + xy = x + y$, alors $y = 1$ ou $x = 1$. 3) Partons de $1 + xy = x + y$. $$1 + xy = x + y$$ $$xy - y = x - 1$$ $$y(x - 1) = x - 1$$ 4) Deux cas : - Si $x \neq 1$, on peut diviser par $x - 1$ : $$y = 1$$ - Si $x = 1$, alors le côté gauche vaut : $$1 + 1\times y = 1 + y$$ Qui est égal au côté droit $x + y = 1 + y$. Ainsi si $x=1$ ou $y=1$, l'égalité est vraie. 5) Conclusion : La contraposée est vraie donc l'implication initiale aussi. --- 1) Montrons que $\forall x \in \mathbb{R}, x \neq 0 \Rightarrow 1 + \frac{x}{2} \neq \sqrt{1 + x}$ par contraposée. 2) Contraposée : Si $1 + \frac{x}{2} = \sqrt{1 + x}$, alors $x = 0$. 3) Partons de : $$1 + \frac{x}{2} = \sqrt{1 + x}$$ 4) Élevons au carré les deux côtés (attention aux valeurs de $x$ pour que $1+x \geq 0$) : $$\left(1 + \frac{x}{2}\right)^2 = 1 + x$$ 5) Développons le carré : $$1 + x + \frac{x^2}{4} = 1 + x$$ 6) Simplifions : $$\frac{x^2}{4} = 0$$ $$x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$$ 7) Conclusion : Seul $x = 0$ satisfait l'égalité, donc par contraposée, pour tout $x \neq 0$, on a : $$1 + \frac{x}{2} \neq \sqrt{1 + x}$$