1. **Énoncé du problème :** (a) : \(\forall x \in ]-\infty, 0], \forall y \in \mathbb{R} : y^2 > x\). Nous devons dire si cette proposition est vraie ou fausse, justifier la réponse, puis donner sa négation. 2. **Analyse de la proposition (a) :** - Pour tout \(x \leq 0\) et tout \(y \in \mathbb{R}\), on doit vérifier si \(y^2 > x\). - Sachant que \(y^2 \geq 0\) pour tout \(y\), et que \(x \leq 0\), alors \(y^2 \geq 0 > x\) ou \(y^2 = 0 \geq x\). - En fait, \(y^2 > x\) est toujours vrai sauf si \(y=0\) et \(x=0\), car \(0^2 = 0\) et \(0 \not> 0\). Donc la proposition est **fausse** car il existe \(x=0\) et \(y=0\) pour lesquels \(y^2 > x\) n'est pas vrai. 3. **Négation de la proposition (a) :** La négation de \(\forall x, \forall y : y^2 > x\) est \(\exists x \in ]-\infty, 0], \exists y \in \mathbb{R} : y^2 \leq x\). 4. **Problème (P) :** \(\forall n \in \mathbb{N} : n \text{ impair} \Rightarrow n^2 \text{ impair}\). Nous devons montrer que (P) est vraie par deux méthodes : --- **Méthode directe :** 1. Soit \(n\) un entier impair, donc \(n = 2k + 1\) avec \(k \in \mathbb{N}\). 2. Calculons \(n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1\). 3. \(n^2\) est donc de la forme \(2m + 1\) avec \(m = 2k^2 + 2k \in \mathbb{N}\), donc impair. --- **Méthode par contraposée :** 1. La contraposée de \(n \text{ impair} \Rightarrow n^2 \text{ impair}\) est : \(n^2 \text{ pair} \Rightarrow n \text{ pair}\). 2. Supposons que \(n^2\) est pair, donc \(n^2 = 2m\) pour un certain entier \(m\). 3. Si \(n\) était impair, alors \(n = 2k + 1\) et \(n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1\) serait impair, ce qui contredit que \(n^2\) est pair. 4. Donc \(n\) doit être pair. Ainsi, la contraposée est vraie, donc (P) est vraie. **Réponse finale :** - La proposition (a) est fausse. - Sa négation est \(\exists x \in ]-\infty, 0], \exists y \in \mathbb{R} : y^2 \leq x\). - La proposition (P) est vraie, démontrée par les deux méthodes.