1. Traduire les phrases avec quantificateurs et connecteurs logiques : - Tous les entiers naturels sont pairs : $$\forall n \in \mathbb{N}, \; n \text{ est pair}$$ - L'équation $x^2 - x - 2 = 0$ admet au moins une solution dans $\mathbb{R}$ : $$\exists x \in \mathbb{R}, \; x^2 - x - 2 = 0$$ - Il n'existe aucun entier non divisible par 1 : $$\neg \exists n \in \mathbb{Z}, \; n \text{ n'est pas divisible par } 1$$ ou équivalent : $$\forall n \in \mathbb{Z}, \; 1 \mid n$$ - Tout nombre réel est compris entre deux entiers relatifs : $$\forall x \in \mathbb{R}, \; \exists m,n \in \mathbb{Z}, \; m \leq x \leq n$$ 2. Négation des propositions : - Proposition : $\forall x \in \mathbb{R}, \; x^2 + 1 > 0$ Négation : $$\exists x \in \mathbb{R}, \; x^2 + 1 \leq 0$$ - Proposition : $\exists M \in \mathbb{R}, \; \forall x \in \mathbb{R}, \; x^2 + 4x - 7 \leq M$ Négation : $$\forall M \in \mathbb{R}, \; \exists x \in \mathbb{R}, \; x^2 + 4x - 7 > M$$ Exercice 2 : A) Montrer par contraposée : 1. $$\forall (x,y) \in \mathbb{R}^+, \; x \neq y \Rightarrow \frac{x}{\sqrt{x+y+1}} \neq \frac{y}{\sqrt{y^2 + y + 1}}$$ Contraposée : $$\forall (x,y) \in \mathbb{R}^+, \; \frac{x}{\sqrt{x+y+1}} = \frac{y}{\sqrt{y^2 + y + 1}} \Rightarrow x = y$$ 2. $$\forall (x,y) \in [1,+\infty[, \; x \neq y \Rightarrow \frac{3 + \sqrt{x}}{1 + x} \neq \frac{3 + \sqrt{y}}{1 + y}$$ Contraposée : $$\forall (x,y) \in [1,+\infty[, \; \frac{3 + \sqrt{x}}{1 + x} = \frac{3 + \sqrt{y}}{1 + y} \Rightarrow x = y$$ B) 1. Formule de la somme des carrés : $$\sum_{k=1}^m k^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}$$ 2. Somme des carrés des nombres impairs de 1 à 10 (1² + 3² + 5² + 7² + 9²) : On utilise la formule pour les premiers $m$ termes impairs, ou on calcule directement : $$1^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 + 9^2 = 1 + 9 + 25 + 49 + 81 = 165$$ --- Résumé final : - Traductions logiques données. - Négations explicitées. - Contraposées expliquées. - Somme des carrés rappelée et calculée.