1. **Énoncé du problème :** Exercice 1. (a) Considérer la proposition : $$P : (\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \geq 0) \text{ et } (x^2 + 1 > 0).$$ (b) Écrire la négation de $P$. (c) Montrer que la proposition $P$ est vraie. 2. Considérer les propositions : $$Q : a \text{ est divisible par } 2 \Rightarrow a \text{ est pair}.$$ $$S : b \text{ est divisible par } 3 \Rightarrow b \text{ est impair}.$$ Déterminer la vérité des propositions $Q$ et $S$. --- **Solution :** 1. (a) La proposition $P$ affirme que pour tout réel $x$, $x^2$ est supérieur ou égal à zéro et que $x^2 + 1$ est strictement positif. (b) La négation de $P$ est : $$\neg P : \exists x \in \mathbb{R} \text{ tel que } x^2 < 0 \text{ ou } x^2 + 1 \leq 0.$$ (c) Montrons que $P$ est vraie : - Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $x^2 \geq 0$ car le carré d'un nombre réel est toujours positif ou nul. - Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $x^2 + 1 > 0$ car $x^2 \geq 0$ donc $x^2 + 1 \geq 1 > 0$. Donc $P$ est vraie. 2. Analyse des propositions $Q$ et $S$ : - $Q$ : "Si $a$ est divisible par 2, alors $a$ est pair". Par définition, un nombre divisible par 2 est pair. Donc $Q$ est vraie. - $S$ : "Si $b$ est divisible par 3, alors $b$ est impair". Ce n'est pas toujours vrai, par exemple $6$ est divisible par 3 mais est pair. Donc $S$ est fausse. --- Exercice 2. 1. Donner le tableau de signe des expressions $3x + 9$ et $-4x + 2$. - Pour $3x + 9 = 0$, on a $x = -3$. - Pour $-4x + 2 = 0$, on a $x = \frac{1}{2}$. Tableau de signe : | Intervalle | $3x + 9$ | $-4x + 2$ | |------------|----------|-----------| | $(-\infty, -3)$ | $-$ | $+$ | | $(-3, \infty)$ | $+$ | $-$ | 2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $$x^2 + 2x + 1 = 0.$$ Cette équation est un carré parfait : $$ (x + 1)^2 = 0 \Rightarrow x = -1.$$ Inéquation : $$x^2 + 2x + 1 > 0 \Leftrightarrow (x + 1)^2 > 0.$$ Cette inéquation est vraie pour tout $x \neq -1$. 3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $$2x^2 - 4x - 6 = 0.$$ Calcul du discriminant : $$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 2 \times (-6) = 16 + 48 = 64.$$ Racines : $$x_1 = \frac{4 - 8}{4} = -1, \quad x_2 = \frac{4 + 8}{4} = 3.$$ Inéquation : $$2x^2 - 4x - 6 \leq 0.$$ Le coefficient devant $x^2$ est positif, donc la parabole est ouverte vers le haut. L'inéquation est satisfaite entre les racines : $$-1 \leq x \leq 3.$$ 4. Résoudre le système $(S1)$ : $$\begin{cases} x + 2y = 2 \\ x + y = 7 \end{cases}$$ Soustrayons la deuxième équation de la première : $$ (x + 2y) - (x + y) = 2 - 7 \Rightarrow y = -5.$$ Substituons $y = -5$ dans $x + y = 7$ : $$x - 5 = 7 \Rightarrow x = 12.$$ Solution : $$ (x, y) = (12, -5).$$ --- Exercice 3. 1. Calculer le pourcentage des garçons dans une classe de 40 élèves dont 10 sont des garçons : $$\text{Pourcentage} = \frac{10}{40} \times 100 = 25\%.$$ 2. Calculer le nombre de filles dans une classe de 36 élèves dont 75% sont des filles : $$\text{Nombre de filles} = 0.75 \times 36 = 27.$$