1. **Énoncé du problème :** Donner la valeur de vérité des propositions P, Q, R, S puis déterminer leur négation. 2. **Proposition P :** $P : x \in \mathbb{R} : x^2 - 3x + 5 > 0$ - Calculons le discriminant de $x^2 - 3x + 5$ : $$\Delta = (-3)^2 - 4 \times 1 \times 5 = 9 - 20 = -11 < 0$$ - Comme $\Delta < 0$ et le coefficient de $x^2$ est positif, le trinôme est toujours positif. - Donc $P$ est vraie. - Négation de $P$ : $\neg P : \exists x \in \mathbb{R} : x^2 - 3x + 5 \leq 0$ 3. **Proposition Q :** $Q : \exists x \in \mathbb{R} : x^2 + 1 = 0$ - $x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -1$ qui n'a pas de solution réelle. - Donc $Q$ est fausse. - Négation de $Q$ : $\neg Q : \forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \neq 0$ 4. **Proposition R :** $R : (\forall x \in \mathbb{R})(\exists y \in \mathbb{R}) : x + y = 3$ - Pour tout $x$, on peut choisir $y = 3 - x$. - Donc $R$ est vraie. - Négation de $R$ : $\neg R : \exists x \in \mathbb{R} : \forall y \in \mathbb{R}, x + y \neq 3$ 5. **Proposition S :** $S : (2 \text{ est impair}) \Rightarrow (-3 \in \mathbb{Z})$ - $2$ n'est pas impair, donc l'antécédent est faux. - Une implication avec antécédent faux est toujours vraie. - Donc $S$ est vraie. - Négation de $S$ : $\neg S : 2 \text{ est impair} \wedge -3 \notin \mathbb{Z}$ --- 6. **Résolution de l'équation :** $2x + |x - 3| = 1$ - Cas 1 : $x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3$ $$2x + (x - 3) = 1 \Rightarrow 3x - 3 = 1 \Rightarrow 3x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{3}$$ Mais $\frac{4}{3} < 3$, donc pas dans ce cas. - Cas 2 : $x - 3 < 0 \Rightarrow x < 3$ $$2x - (x - 3) = 1 \Rightarrow 2x - x + 3 = 1 \Rightarrow x + 3 = 1 \Rightarrow x = -2$$ $-2 < 3$ donc solution valide. - Solution finale : $x = -2$ --- 7. **Démonstration par contraposée :** Montrer que pour $\forall (x,y) \in [3,+\infty[^2$, $x \neq y \Rightarrow x^2 - 4x \neq y^2 - 4y$ - Contraposée : $x^2 - 4x = y^2 - 4y \Rightarrow x = y$ - Supposons $x^2 - 4x = y^2 - 4y$ $$x^2 - y^2 = 4x - 4y$$ $$(x - y)(x + y) = 4(x - y)$$ - Si $x \neq y$, on peut diviser par $(x - y)$ : $$x + y = 4$$ - Or $x,y \geq 3$ donc $x + y \geq 6$, contradiction. - Donc $x = y$. --- 8. **Démonstration par récurrence :** Montrer que $\forall n \in \mathbb{N} : 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n + 1) = (n + 1)^2$ - Initialisation : $n=0$ $$1 = (0 + 1)^2 = 1$$ Vrai. - Hypothèse de récurrence : Supposons vrai pour $n$. - Montrons pour $n+1$ : $$1 + 3 + 5 + \cdots + (2n + 1) + (2(n+1) + 1) = (n + 1)^2 + (2n + 3)$$ $$= n^2 + 2n + 1 + 2n + 3 = n^2 + 4n + 4 = (n + 2)^2$$ - Conclusion : propriété vraie pour tout $n$. **Réponses finales :** - $P$ vraie, $\neg P : \exists x \in \mathbb{R} : x^2 - 3x + 5 \leq 0$ - $Q$ fausse, $\neg Q : \forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \neq 0$ - $R$ vraie, $\neg R : \exists x \in \mathbb{R} : \forall y \in \mathbb{R}, x + y \neq 3$ - $S$ vraie, $\neg S : 2 \text{ est impair} \wedge -3 \notin \mathbb{Z}$ - Solution équation : $x = -2$ - Contraposée démontrée. - Somme des impairs : $1 + 3 + 5 + \cdots + (2n + 1) = (n + 1)^2$