1. Problème Ex 5) : Déterminer la valeur de vérité de chaque proposition en justifiant. 2. P1 : $(\forall x \in \mathbb{R}^+) : \sqrt{x} \leq x$ - Pour $x \geq 1$, $\sqrt{x} \leq x$ est vrai. - Pour $0 < x < 1$, $\sqrt{x} > x$ car racine carrée diminue moins vite que $x$. - Exemple : $x=0.25$, $\sqrt{0.25} = 0.5 > 0.25$. - Conclusion : P1 est fausse. 3. P2 : $(\exists x \in \mathbb{R}) : (\cos x=0 \wedge \sin x=0)$ - $\cos x$ et $\sin x$ ne peuvent pas être nuls simultanément. - Donc P2 est fausse. 4. P3 : $(\exists x \in \mathbb{R} : \cos x=0) \wedge (\exists x \in \mathbb{R} : \sin x=0)$ - $\cos x=0$ pour $x=\frac{\pi}{2}$ par ex. - $\sin x=0$ pour $x=0$ par ex. - Donc P3 est vraie. 5. P4 : $(\forall x \in \mathbb{R}) : \sqrt{x^2+2x+2} > x+1$ - Remarquer que $x^2+2x+2 = (x+1)^2 + 1$. - Donc $\sqrt{x^2+2x+2} = \sqrt{(x+1)^2 +1} > |x+1|$. - $x+1 \leq |x+1|$, donc $\sqrt{x^2+2x+2} > x+1$ toujours. - P4 est vraie. 6. P5 : $(\exists n \in \mathbb{N}^*) (\forall x \in \mathbb{R}) \frac{x^{2n}}{1+x^2} > 4$ - Pour $x=0$, fraction $=0$ jamais $>4$. - Donc P5 est fausse. 7. P6 : $(\forall x \in \mathbb{R})(\exists y \in \mathbb{R}) : x^2 + y^2 + xy + 3=0$ - Résoudre en $y$: $y^2 + xy + (x^2 +3)=0$ - Discriminant $\Delta = x^2 -4(x^2+3)= -3x^2 -12 <0$. - Pas de $y$ réel pour tout $x$, donc P6 est fausse. 8. Problème Ex 6) : Négation des propositions. 9. P1 : $(\forall x \in \mathbb{R}) : \sqrt{x^2 +2} > x$ - La négation est : $(\exists x \in \mathbb{R}) : \sqrt{x^2 +2} \leq x$ 10. P2 : $(\exists x >0)(x^2 \leq x \text{ ou } x + \frac{1}{x} <0)$ - La négation est : $(\forall x >0)(x^2 > x \text{ et } x + \frac{1}{x} \geq 0)$ Réponses synthétisées ci-dessus.