1. **Énoncé du problème :** On considère la proposition $P : (\forall x \in \mathbb{Z}), x^2 \in \mathbb{N} \Rightarrow x \in \mathbb{N}$. 2. **Négation de $P$ :** La négation de $P$ est $\neg P : (\exists x \in \mathbb{Z}), x^2 \in \mathbb{N} \wedge x \notin \mathbb{N}$. 3. **Interprétation :** Cela signifie qu'il existe un entier $x$ dont le carré est naturel mais $x$ n'est pas naturel. 4. **Exemple pour montrer que $P$ est fausse :** Prenons $x = -1 \in \mathbb{Z}$, alors $x^2 = (-1)^2 = 1 \in \mathbb{N}$ mais $x = -1 \notin \mathbb{N}$. 5. **Conclusion :** Donc $P$ est fausse car sa négation est vraie. 6. **Proposition $Q$ :** $Q : (\exists x \in \mathbb{R}), x^2 + x - 2 = 0$. 7. **Résolution de l'équation :** $$x^2 + x - 2 = 0$$ Utilisons la formule quadratique : $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ avec $a=1$, $b=1$, $c=-2$. 8. **Calcul du discriminant :** $$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \times 1 \times (-2) = 1 + 8 = 9$$ 9. **Solutions :** $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ Donc $$x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$$ $$x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2$$ 10. **Conclusion :** Il existe bien des réels $x$ tels que $x^2 + x - 2 = 0$, donc $Q$ est vraie. 11. **Valeur de vérité de $Q \Rightarrow P$ :** $Q$ est vraie et $P$ est fausse. 12. **Rappel :** Une implication $A \Rightarrow B$ est fausse uniquement si $A$ est vraie et $B$ est fausse. 13. **Conclusion :** Donc $Q \Rightarrow P$ est fausse.