1. ปัญหา: ตรวจสอบว่าประพจน์ใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นจริงในบางกรณีและเป็นเท็จในบางกรณี (คือเป็นประพจน์ที่ไม่ใช่สาระจริงหรือสาระเท็จตลอด) 2. สูตรและกฎสำคัญ: - $\vee$ คือ OR (หรือ) - $\wedge$ คือ AND (และ) - $\sim$ คือ NOT (ปฏิเสธ) - $\to$ คือ การบอกเหตุ (implication) - $\leftrightarrow$ คือ การเทียบเท่าทางตรรกะ (biconditional) 3. วิเคราะห์แต่ละประพจน์: 1. $ (p \vee \sim p) \to (r \wedge \sim r) $ - $p \vee \sim p$ เป็นสาระจริงเสมอ (กฎของการปฏิเสธคู่) - $r \wedge \sim r$ เป็นสาระเท็จเสมอ - ดังนั้น $\text{True} \to \text{False} = \text{False}$ เสมอ - ประพจน์นี้เป็นสาระเท็จตลอด 2. $ (\sim p \wedge q) \wedge (p \wedge r) $ - $\sim p$ และ $p$ ไม่สามารถเป็นจริงพร้อมกัน - ดังนั้น ประพจน์นี้เป็นเท็จเสมอ 3. $ (q \to r) \leftrightarrow (q \wedge \sim r) $ - $q \to r$ เท่ากับ $\sim q \vee r$ - $q \wedge \sim r$ เป็นจริงเมื่อ $q$ จริงและ $r$ เท็จ - สองข้างนี้ไม่เท่ากันเสมอไป - ดังนั้น ประพจน์นี้เป็นจริงในบางกรณีและเท็จในบางกรณี 4. $ (p \vee r) \wedge (q \vee \sim r) $ - สามารถเป็นจริงหรือเท็จขึ้นกับค่าของ $p,q,r$ - ดังนั้นเป็นจริงในบางกรณีและเท็จในบางกรณี 5. $ (p \wedge q) \wedge (\sim p \vee \sim q) $ - $p \wedge q$ ต้องเป็นจริง - $\sim p \vee \sim q$ ต้องเป็นจริง - แต่ $p$ และ $\sim p$ ไม่สามารถเป็นจริงพร้อมกัน - ดังนั้น ประพจน์นี้เป็นเท็จเสมอ 4. สรุป: - ประพจน์ที่เป็นจริงในบางกรณีและเท็จในบางกรณีคือข้อ 3 และ 4 คำตอบ: ข้อ 3 และ 4