1. **Réduis les expressions suivantes à un seul logarithme.** 1.a) $\log_2 A + \log_2 M + \log_2 l$ Utilise la propriété $\log_b x + \log_b y = \log_b (xy)$ : $$\log_2 A + \log_2 M + \log_2 l = \log_2 (A \times M \times l)$$ 1.b) $3 \log_5 x - 2 \log_5 xy + \log_5 (x + y)$ Utilise la propriété $k \log_b x = \log_b (x^k)$ : $$3 \log_5 x = \log_5 (x^3), \quad -2 \log_5 xy = \log_5 ((xy)^{-2})$$ Donc : $$\log_5 (x^3) + \log_5 (x + y) + \log_5 ((xy)^{-2}) = \log_5 \left( \frac{x^3 (x + y)}{(xy)^2} \right) = \log_5 \left( \frac{x^3 (x + y)}{x^2 y^2} \right) = \log_5 \left( \frac{x (x + y)}{y^2} \right)$$ 1.c) $1 - \log_e 4$ Rappelle que $1 = \log_e e$ car $\log_e e = 1$. Donc : $$1 - \log_e 4 = \log_e e - \log_e 4 = \log_e \left( \frac{e}{4} \right)$$ 2. **Si $\log_x 3 = a$, $\log_x 5 = b$ et $\log_x 2 = c$, donne l’expression qui correspond à :** 2.a) $\log_x \frac{15}{2}$ $$\log_x \frac{15}{2} = \log_x \frac{3 \times 5}{2} = \log_x 3 + \log_x 5 - \log_x 2 = a + b - c$$ 2.b) $\log_x 6x^2$ $$\log_x (6x^2) = \log_x 6 + \log_x x^2 = \log_x (2 \times 3) + 2 \log_x x = (c + a) + 2 \times 1 = a + c + 2$$ (car $\log_x x = 1$) 2.c) $\log_x 300$ $$300 = 3 \times 5^2 \times 2^2$$ Donc : $$\log_x 300 = \log_x 3 + 2 \log_x 5 + 2 \log_x 2 = a + 2b + 2c$$ 2.d) $\log_x \sqrt{40} + 20$ $$\sqrt{40} = 40^{1/2} = (2^3 \times 5)^{1/2} = 2^{3/2} \times 5^{1/2}$$ Donc : $$\log_x \sqrt{40} = \frac{3}{2} \log_x 2 + \frac{1}{2} \log_x 5 = \frac{3}{2} c + \frac{1}{2} b$$ Ainsi : $$\log_x \sqrt{40} + 20 = \frac{3}{2} c + \frac{1}{2} b + 20$$ 3. **Détermine la valeur de :** 3.a) $\log_3 2 + \log_3 36 - \log_3 8$ Utilise la propriété $\log_b x + \log_b y = \log_b (xy)$ et $\log_b x - \log_b y = \log_b \frac{x}{y}$ : $$\log_3 2 + \log_3 36 - \log_3 8 = \log_3 \left( \frac{2 \times 36}{8} \right) = \log_3 9 = 2$$ (car $3^2 = 9$) 3.b) $4 - \frac{1}{2} \log_3 9$ Rappelle que $\log_3 9 = 2$ car $3^2 = 9$. Donc : $$4 - \frac{1}{2} \times 2 = 4 - 1 = 3$$ 4. **Utilise les propriétés des logarithmes pour réduire les expressions et associe le résultat à une des expressions données.** 4.a) $\log_7 5 + \log_7 18 - \frac{1}{2} \log_7 900$ $$= \log_7 (5 \times 18) - \log_7 (900^{1/2}) = \log_7 90 - \log_7 30 = \log_7 \frac{90}{30} = \log_7 3$$ Aucune expression correspondante directe, mais $\log_7 3$ est équivalent à $\frac{\log 3}{\log 7}$ (expression F). 4.b) $\log_3 56 + \frac{1}{2} \log_3 16 - 5 \log_3 2$ $$= \log_3 56 + \log_3 16^{1/2} - \log_3 2^5 = \log_3 56 + \log_3 4 - \log_3 32 = \log_3 \frac{56 \times 4}{32} = \log_3 7$$ 4.c) $\log 3 + \log 5^4 - \log 7 - 2 \log 25$ $$= \log 3 + 4 \log 5 - \log 7 - 2 \log 25 = \log 3 + 4 \log 5 - \log 7 - 2 \times 2 \log 5$$ (car $\log 25 = 2 \log 5$) $$= \log 3 + 4 \log 5 - \log 7 - 4 \log 5 = \log 3 - \log 7 = \log \frac{3}{7}$$ Expression E. 4.d) $\log (10^{3/5} \times 100^{2/3} \times 0.1^{4/5})$ $$= \log 10^{3/5} + \log 100^{2/3} + \log 0.1^{4/5} = \frac{3}{5} \log 10 + \frac{2}{3} \log 100 + \frac{4}{5} \log 0.1$$ Rappelle que $\log 10 = 1$, $\log 100 = 2$, $\log 0.1 = -1$. $$= \frac{3}{5} \times 1 + \frac{2}{3} \times 2 + \frac{4}{5} \times (-1) = \frac{3}{5} + \frac{4}{3} - \frac{4}{5} = \frac{3 - 4}{5} + \frac{4}{3} = -\frac{1}{5} + \frac{4}{3} = \frac{-3 + 20}{15} = \frac{17}{15}$$ 4.e) $\ln e + \ln 7 - \ln 9 + \ln 3 - 2 \ln \sqrt{e}$ $$= \ln e + \ln 7 - \ln 9 + \ln 3 - 2 \times \frac{1}{2} \ln e = \ln e + \ln 7 - \ln 9 + \ln 3 - \ln e$$ Simplifie $\ln e - \ln e = 0$ : $$= \ln 7 - \ln 9 + \ln 3 = \ln \frac{7 \times 3}{9} = \ln \frac{21}{9} = \ln \frac{7}{3}$$ Expression C. 4.f) $\log_2 \sqrt[3]{2} + \log_5 625 - \log_8 32 - \log_{27} 3$ $$= \log_2 2^{1/3} + \log_5 5^4 - \log_8 2^5 - \log_{27} 3$$ $$= \frac{1}{3} + 4 - \log_8 2^5 - \log_{27} 3$$ Convertissons $\log_8 2^5$ en base 2 : $$\log_8 2^5 = \frac{\log_2 2^5}{\log_2 8} = \frac{5}{3}$$ Convertissons $\log_{27} 3$ en base 3 : $$\log_{27} 3 = \frac{\log_3 3}{\log_3 27} = \frac{1}{3}$$ Donc : $$\frac{1}{3} + 4 - \frac{5}{3} - \frac{1}{3} = 4 + \frac{1}{3} - \frac{5}{3} - \frac{1}{3} = 4 - \frac{5}{3} = \frac{12}{3} - \frac{5}{3} = \frac{7}{3}$$ Expression B. **Réponses finales :** 1.a) $\log_2 (A M l)$ 1.b) $\log_5 \left( \frac{x (x + y)}{y^2} \right)$ 1.c) $\log_e \left( \frac{e}{4} \right)$ 2.a) $a + b - c$ 2.b) $a + c + 2$ 2.c) $a + 2b + 2c$ 2.d) $\frac{3}{2} c + \frac{1}{2} b + 20$ 3.a) $2$ 3.b) $3$ 4.a) $\frac{\log 3}{\log 7}$ (F) 4.b) $\log_3 7$ 4.c) $\log \frac{3}{7}$ (E) 4.d) $\frac{17}{15}$ 4.e) $\ln \frac{7}{3}$ (C) 4.f) $\frac{7}{3}$ (B)