1. Задача: Максимизировать функцию цели $$Z(X) = 3x_1 - x_2$$ при ограничениях: $$-3x_1 + 2x_2 \leq 6,$$ $$2x_1 - 3x_2 \leq 6,$$ $$x_1 \leq 6,$$ $$x_2 \leq 6,$$ $$x_1 \geq 0, x_2 \geq 0.$$ 2. Построим графики ограничений: - Для $$-3x_1 + 2x_2 = 6$$: при $$x_1=0$$, $$x_2=3$$; при $$x_2=0$$, $$x_1=-2$$ (не входит в область, так как $$x_1 \geq 0$$). - Для $$2x_1 - 3x_2 = 6$$: при $$x_1=0$$, $$x_2=-2$$ (не входит в область); при $$x_2=0$$, $$x_1=3$$. - Линии $$x_1=6$$ и $$x_2=6$$ - вертикальная и горизонтальная линии соответственно. 3. Определим область допустимых решений: пересечение всех неравенств и ограничений на неотрицательность. 4. Найдем вершины многоугольника допустимой области, решая системы уравнений по парам: - Пересечение $$-3x_1 + 2x_2 = 6$$ и $$2x_1 - 3x_2 = 6$$: $$\begin{cases}-3x_1 + 2x_2 = 6 \\ 2x_1 - 3x_2 = 6\end{cases}$$ Решим методом подстановки или сложения: Умножим первое уравнение на 3, второе на 2: $$\begin{cases}-9x_1 + 6x_2 = 18 \\ 4x_1 - 6x_2 = 12\end{cases}$$ Сложим: $$-5x_1 = 30 \Rightarrow x_1 = -6$$ (не подходит, так как $$x_1 \geq 0$$). - Пересечение $$-3x_1 + 2x_2 = 6$$ и $$x_1 = 0$$: Подставим $$x_1=0$$: $$2x_2 = 6 \Rightarrow x_2 = 3$$. - Пересечение $$2x_1 - 3x_2 = 6$$ и $$x_2 = 0$$: Подставим $$x_2=0$$: $$2x_1 = 6 \Rightarrow x_1 = 3$$. - Пересечение $$x_1 = 6$$ и $$2x_1 - 3x_2 = 6$$: Подставим $$x_1=6$$: $$12 - 3x_2 = 6 \Rightarrow -3x_2 = -6 \Rightarrow x_2 = 2$$. - Пересечение $$x_1 = 6$$ и $$-3x_1 + 2x_2 = 6$$: Подставим $$x_1=6$$: $$-18 + 2x_2 = 6 \Rightarrow 2x_2 = 24 \Rightarrow x_2 = 12$$ (не входит в область, так как $$x_2 \leq 6$$). - Пересечение $$x_2 = 6$$ и $$-3x_1 + 2x_2 = 6$$: Подставим $$x_2=6$$: $$-3x_1 + 12 = 6 \Rightarrow -3x_1 = -6 \Rightarrow x_1 = 2$$. - Пересечение $$x_2 = 6$$ и $$2x_1 - 3x_2 = 6$$: Подставим $$x_2=6$$: $$2x_1 - 18 = 6 \Rightarrow 2x_1 = 24 \Rightarrow x_1 = 12$$ (не входит в область, так как $$x_1 \leq 6$$). 5. Вершины допустимой области с учетом ограничений и неотрицательности: $$(0,0), (0,3), (2,6), (6,2), (3,0), (6,0), (0,6)$$. 6. Вычислим значение $$Z$$ в каждой вершине: - $$Z(0,0) = 3\cdot0 - 0 = 0$$ - $$Z(0,3) = 3\cdot0 - 3 = -3$$ - $$Z(2,6) = 3\cdot2 - 6 = 6 - 6 = 0$$ - $$Z(6,2) = 3\cdot6 - 2 = 18 - 2 = 16$$ - $$Z(3,0) = 3\cdot3 - 0 = 9$$ - $$Z(6,0) = 3\cdot6 - 0 = 18$$ - $$Z(0,6) = 3\cdot0 - 6 = -6$$ 7. Максимальное значение $$Z = 18$$ достигается в точке $$(6,0)$$. Ответ: $$x_1 = 6, x_2 = 0, Z_{max} = 18.$$