1. Задача: Минимизировать функцию цели $$Z(X) = -2x_1 + x_2 + 3x_3 - 2x_4$$ при условиях: $$\begin{cases} 3x_1 - x_2 - 4x_3 + x_4 = 2, \\ 5x_1 - x_2 - 7x_3 + 2x_4 = 6, \\ x_j \geq 0, \quad j=1,2,3,4. \end{cases}$$ 2. Преобразуем систему уравнений для удобства решения. Обозначим: $$\begin{cases} 3x_1 - x_2 - 4x_3 + x_4 = 2, \\ 5x_1 - x_2 - 7x_3 + 2x_4 = 6. \end{cases}$$ 3. Выразим $x_2$ из первого уравнения: $$x_2 = 3x_1 - 4x_3 + x_4 - 2.$$ 4. Подставим $x_2$ во второе уравнение: $$5x_1 - (3x_1 - 4x_3 + x_4 - 2) - 7x_3 + 2x_4 = 6,$$ упростим: $$5x_1 - 3x_1 + 4x_3 - x_4 + 2 - 7x_3 + 2x_4 = 6,$$ $$2x_1 - 3x_3 + x_4 + 2 = 6,$$ $$2x_1 - 3x_3 + x_4 = 4.$$ 5. Теперь у нас две линейные зависимости: $$\begin{cases} x_2 = 3x_1 - 4x_3 + x_4 - 2, \\ 2x_1 - 3x_3 + x_4 = 4. \end{cases}$$ 6. Выразим $x_4$ из второго уравнения: $$x_4 = 4 - 2x_1 + 3x_3.$$ 7. Подставим $x_4$ в выражение для $x_2$: $$x_2 = 3x_1 - 4x_3 + (4 - 2x_1 + 3x_3) - 2 = (3x_1 - 2x_1) + (-4x_3 + 3x_3) + (4 - 2) = x_1 - x_3 + 2.$$ 8. Теперь функция цели: $$Z = -2x_1 + x_2 + 3x_3 - 2x_4,$$ подставим $x_2$ и $x_4$: $$Z = -2x_1 + (x_1 - x_3 + 2) + 3x_3 - 2(4 - 2x_1 + 3x_3) = -2x_1 + x_1 - x_3 + 2 + 3x_3 - 8 + 4x_1 - 6x_3,$$ упростим: $$Z = (-2x_1 + x_1 + 4x_1) + (-x_3 + 3x_3 - 6x_3) + (2 - 8) = 3x_1 - 4x_3 - 6.$$ 9. Минимизируем $Z = 3x_1 - 4x_3 - 6$ при $x_j \\geq 0$ и условии $x_4 = 4 - 2x_1 + 3x_3 \\geq 0$. 10. Рассмотрим ограничения: - $x_1 \\geq 0$ - $x_3 \\geq 0$ - $x_4 = 4 - 2x_1 + 3x_3 \\geq 0$ - $x_2 = x_1 - x_3 + 2 \\geq 0$ 11. Найдем область допустимых значений $(x_1, x_3)$: - $4 - 2x_1 + 3x_3 \\geq 0 \Rightarrow 3x_3 \\geq 2x_1 - 4$ - $x_1 - x_3 + 2 \\geq 0 \Rightarrow x_3 \\leq x_1 + 2$ 12. Минимизируем $Z = 3x_1 - 4x_3 - 6$. Поскольку $Z$ уменьшается при увеличении $x_3$ и уменьшении $x_1$, нужно найти точку на границе допустимой области, где $Z$ минимально. 13. Рассмотрим пересечение границ: $$3x_3 = 2x_1 - 4,$$ $$x_3 = x_1 + 2.$$ Подставим второе в первое: $$3(x_1 + 2) = 2x_1 - 4,$$ $$3x_1 + 6 = 2x_1 - 4,$$ $$3x_1 - 2x_1 = -4 - 6,$$ $$x_1 = -10,$$ что невозможно, так как $x_1 \\geq 0$. 14. Проверим граничные точки с $x_1 = 0$: - $x_4 = 4 - 0 + 3x_3 = 4 + 3x_3 \\geq 0$ всегда. - $x_2 = 0 - x_3 + 2 = 2 - x_3 \\geq 0 \Rightarrow x_3 \\leq 2$. 15. При $x_1=0$, $x_3$ от 0 до 2, функция: $$Z = 3*0 - 4x_3 - 6 = -4x_3 - 6,$$ минимум достигается при максимальном $x_3 = 2$: $$Z_{min} = -4*2 - 6 = -8 - 6 = -14.$$ 16. Проверим $x_3=0$: - $x_4 = 4 - 2x_1 + 0 \\geq 0 \Rightarrow x_1 \\leq 2$. - $x_2 = x_1 + 2 \\geq 0$ всегда. 17. При $x_3=0$, $x_1$ от 0 до 2, функция: $$Z = 3x_1 - 0 - 6 = 3x_1 - 6,$$ минимум при $x_1=0$: $$Z = -6.$$ 18. Сравниваем найденные минимумы: $-14$ при $(x_1, x_3) = (0, 2)$ и $-6$ при $(0,0)$. 19. Проверим $x_4$ и $x_2$ при $(0,2)$: - $x_4 = 4 - 0 + 3*2 = 4 + 6 = 10 \\geq 0$ - $x_2 = 0 - 2 + 2 = 0 \\geq 0$ 20. Итог: минимальное значение функции цели $$Z_{min} = -14$$ достигается при $$x_1 = 0, x_3 = 2, x_2 = 0, x_4 = 10.$$