1. **بيان المشكلة:** يريد المستثمر استثمار مبلغ 150000 وحدة نقدية في ثلاثة بدائل استثمارية: شراء منازل صغيرة، قطع أراضي، وأسهم شركات، بحيث يكون العائد المتوقع في نهاية العام أكبر ما يمكن. 2. **صياغة النموذج الرياضي:** - لنفرض: - $x_1$ عدد الوحدات من المنازل الصغيرة. - $x_2$ عدد الوحدات من قطع الأراضي. - $x_3$ عدد الوحدات من الأسهم. - الهدف: تعظيم العائد الكلي $$Z = 6000x_1 + 50x_2 + 10x_3$$ - القيود: - تكلفة الاستثمار لا تتجاوز 150000: $$30000x_1 + 1000x_2 + 100x_3 \leq 150000$$ - الحدود القصوى لكل استثمار: $$x_1 \leq 4$$ $$x_2 \leq 1500$$ $$x_3 \leq 2000$$ - لا يمكن استثمار كميات سالبة: $$x_1, x_2, x_3 \geq 0$$ 3. **طريقة السيمبلكس:** - نعيد كتابة القيود بصيغة معادلات بإضافة متغيرات فائض: $$30000x_1 + 1000x_2 + 100x_3 + s_1 = 150000$$ $$x_1 + s_2 = 4$$ $$x_2 + s_3 = 1500$$ $$x_3 + s_4 = 2000$$ - الهدف: تعظيم $$Z = 6000x_1 + 50x_2 + 10x_3$$ 4. **الحل المبدئي:** - نبدأ بحل النقطة الأساسية حيث $x_1 = 0, x_2 = 0, x_3 = 0$. - نحاول زيادة $x_1$ أولاً لأنه له أعلى عائد للوحدة. - الحد الأقصى لـ $x_1$ هو 4، والتكلفة: $$30000 \times 4 = 120000 \leq 150000$$ - يتبقى: $$150000 - 120000 = 30000$$ - نستخدم المبلغ المتبقي لشراء $x_2$: $$x_2 = \frac{30000}{1000} = 30$$ - تحقق من الحدود القصوى: $30 \leq 1500$ صحيح. - $x_3 = 0$ لأن لا مال متبقي. 5. **حساب العائد الكلي:** $$Z = 6000 \times 4 + 50 \times 30 + 10 \times 0 = 24000 + 1500 + 0 = 25500$$ 6. **النتيجة:** - الاستثمار الأمثل هو شراء 4 منازل صغيرة و30 قطعة أرض. - العائد المتوقع الأقصى هو 25500 وحدة نقدية في نهاية العام.