1. مسئله اول: فرض کنید $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ و $AA^* = A^*A$. نشان دهید ماتریسی $U$ وجود دارد که $$U^*AU = D, \quad U^*U = UU^* = I,$$ که در آن $D$ ماتریس قطری شامل مقادیر ویژه $A$ و $I$ ماتریس همانی است. 2. از فرض تساوی $AA^* = A^*A$ نتیجه می‌شود که $A$ یک ماتریس نرمال است. 3. قضیه اساسی ماتریس‌های نرمال بیان می‌کند که برای هر ماتریس نرمال $A$، ماتریسی یونیتاری $U$ وجود دارد که $U^*AU$ ماتریسی قطری است که مقادیر ویژه $A$ در قطر آن قرار دارند. 4. بنابراین به طور مستقیم وجود چنین ماتریسی $U$ تضمین می‌شود و همچنین $U$ یک ماتریس واحدی است یعنی $$U^*U = UU^* = I.$$ 5. مسئله دوم: فرض کنید $A$ ماتریس معین مثبت است. نشان دهید که $$\det(A) \leq \prod_{i=1}^n a_{ii},$$ که در آن $a_{ii}$ درایه‌های قطری $A$ هستند، و تساوی برقرار است اگر و تنها اگر $A$ ماتریس قطری باشد. 6. چون $A$ ماتریس معین مثبت است، درایه‌های قطری $a_{ii} > 0$ هستند. 7. طبق نامساوی هادامارد، برای هر ماتریس مثبت معین $A$، داریم: $$\det(A) \leq \prod_{i=1}^n a_{ii}.$$ 8. تساوی هنگامی برقرار است که همه بردارهای ستون $A$ متعامد باشند که یعنی $A$ یک ماتریس قطری باشد. نتیجه نهایی: برای مسئله اول، وجود ماتریس واحدی $U$ که $U^*AU = D$ با $D$ قطری دارای مقادیر ویژه $A$ و $U^*U=UU^*=I$ اثبات شد. برای مسئله دوم، نامساوی $$\det(A) \leq \prod_{i=1}^n a_{ii}$$ با تساوی هنگامی که $A$ قطری باشد، برقرار است.