1. 問題陳述：給定三階矩陣 $$A=\begin{bmatrix}5 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 3\end{bmatrix}$$，求其行空間 (RS(A))、列空間 (CS(A))、核空間 (Ker(A)) 及左核空間 (LKer(A))。 2. 公式與定義： - 行空間 RS(A) 是矩陣 A 的所有行向量的線性組合。 - 列空間 CS(A) 是矩陣 A 的所有列向量的線性組合。 - 核空間 Ker(A) 是所有使得 $Ax=0$ 的向量 $x$ 的集合。 - 左核空間 LKer(A) 是所有使得 $y^TA=0$ 的向量 $y$ 的集合。 3. 計算行空間 RS(A)： 行空間由矩陣的行向量張成，行向量為 $$r_1=(5,1,0), r_2=(0,1,1), r_3=(0,3,3)$$ 注意 $r_3=3r_2$，故 $r_3$ 可由 $r_2$ 表示，行空間由 $r_1$ 和 $r_2$ 張成。 4. 計算列空間 CS(A)： 列向量為 $$c_1=\begin{bmatrix}5 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}, c_2=\begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 3\end{bmatrix}, c_3=\begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 3\end{bmatrix}$$ 檢查線性獨立性： $c_3 = c_2 - c_1 \times 0$ 不成立，但可檢查是否 $c_3$ 可由 $c_1,c_2$ 表示。 實際上 $c_3 = c_2 - \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}$ 不成立，故 $c_1,c_2,c_3$ 線性獨立。 5. 計算核空間 Ker(A)： 求解 $Ax=0$，設 $x=\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{bmatrix}$，則 $$\begin{cases}5x_1 + x_2 = 0 \\ x_2 + x_3 = 0 \\ 3x_2 + 3x_3 = 0\end{cases}$$ 由第二式 $x_3 = -x_2$，代入第三式得 $3x_2 - 3x_2=0$，恆成立。 由第一式 $5x_1 + x_2=0 \Rightarrow x_1 = -\frac{x_2}{5}$。 令 $x_2 = t$，則 $$x = t \begin{bmatrix}-\frac{1}{5} \\ 1 \\ -1\end{bmatrix}$$ 核空間為該向量的線性組合。 6. 計算左核空間 LKer(A)： 左核空間為 $y$ 使得 $y^T A=0$，即 $A^T y=0$。 矩陣 $A^T=\begin{bmatrix}5 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 3\end{bmatrix}$，設 $y=\begin{bmatrix}y_1 \\ y_2 \\ y_3\end{bmatrix}$，求解 $$A^T y=0 \Rightarrow \begin{cases}5y_1 = 0 \\ y_1 + y_2 + 3y_3 = 0 \\ y_2 + 3y_3 = 0\end{cases}$$ 由第一式 $y_1=0$，由第三式 $y_2 = -3y_3$，代入第二式得 $0 -3y_3 + 3y_3=0$，恆成立。 令 $y_3 = s$，則 $$y = s \begin{bmatrix}0 \\ -3 \\ 1\end{bmatrix}$$ 左核空間為該向量的線性組合。 7. 最終答案： - 行空間 RS(A) 張成向量： $(5,1,0)$ 和 $(0,1,1)$。 - 列空間 CS(A) 張成向量：列向量 $(5,0,0)^T$, $(1,1,3)^T$, $(0,1,3)^T$。 - 核空間 Ker(A) 張成向量：$\begin{bmatrix}-\frac{1}{5} \\ 1 \\ -1\end{bmatrix}$。 - 左核空間 LKer(A) 張成向量：$\begin{bmatrix}0 \\ -3 \\ 1\end{bmatrix}$。