1. সমস্যা জানা: দিয়ে হয়েছে $A^{-1} = \begin{vmatrix} \frac{5}{7} & \frac{1}{7} \\ \frac{3}{7} & \frac{2}{7} \end{vmatrix}$. আমাদের $A^2 + 2A$ এর মান বের করতে হবে। প্রথমে $A$ নির্ণয় করি। যেহেতু $A^{-1}$ এর মান দেওয়া আছে, $A$ হবে $A^{-1}$ এর ইনভার্স। 2. ইনভার্স ম্যাট্রিক্স থেকে মূল ম্যাট্রিক্স বের করা: $A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{5}{7} & \frac{1}{7} \\ \frac{3}{7} & \frac{2}{7} \end{pmatrix}$। $A$ এর ইনভার্স form হয়: $$ A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} $$ যেখানে $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$। 3. $A^{-1}$ থেকে $A$ এর উপাদান বের করি: ধরা যাক, $$ A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{5}{7} & \frac{1}{7} \\ \frac{3}{7} & \frac{2}{7} \end{pmatrix} $$ অতএব, $$ \frac{d}{ad-bc} = \frac{5}{7}, \quad \frac{-b}{ad-bc} = \frac{1}{7}, \quad \frac{-c}{ad-bc} = \frac{3}{7}, \quad \frac{a}{ad-bc} = \frac{2}{7} $$ 4. এখানে ডিনোমিনেটর $\det A = ad - bc=k$, তাহলে $$ d = \frac{5}{7}k, \quad -b = \frac{1}{7}k, \quad -c = \frac{3}{7}k, \quad a = \frac{2}{7}k $$ 5. যথাক্রমে, $$ b = -\frac{1}{7}k, \quad c = -\frac{3}{7}k $$ 6. এখন $\det A=k$: $$ k = ad - bc = \left( \frac{2}{7}k \right) \left( \frac{5}{7}k \right) - \left(-\frac{1}{7}k\right) \left(-\frac{3}{7}k\right) = \frac{10}{49}k^2 - \frac{3}{49}k^2 = \frac{7}{49}k^2 = \frac{1}{7}k^2 $$ 7. সমীকরণ থেকে, $$ k = \frac{1}{7} k^2 \implies 7 = k $$ 8. অতএব, $$ a = \frac{2}{7} \times 7 = 2, \quad b = -\frac{1}{7} \times 7 = -1, \quad c = -\frac{3}{7} \times 7 = -3, \quad d = \frac{5}{7} \times 7 = 5 $$ সুতরাং, $$ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 5 \end{pmatrix} $$ 9. এখন $A^2$ নির্ণয় করি: $$ A^2 = A \times A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 5 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (2)(2) + (-1)(-3) & (2)(-1) + (-1)(5) \\ (-3)(2) + (5)(-3) & (-3)(-1) + (5)(5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 + 3 & -2 - 5 \\ -6 - 15 & 3 + 25 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & -7 \\ -21 & 28 \end{pmatrix} $$ 10. এখন $2A$: $$ 2A = 2 \times \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -6 & 10 \end{pmatrix} $$ 11. অবশেষে $A^2 + 2A$: $$ \begin{pmatrix} 7 & -7 \\ -21 & 28 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -6 & 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 + 4 & -7 - 2 \\ -21 - 6 & 28 + 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 & -9 \\ -27 & 38 \end{pmatrix} $$ উত্তর: $$ A^2 + 2A = \begin{pmatrix} 11 & -9 \\ -27 & 38 \end{pmatrix} $$