1. Problemi: Identifikoni nëse dy drejta janë të njëjta. Drejtat jepen: $$d_1: 3x + y - 6 = 0$$ $$d_2: 3x + y - 6 = 0$$ Dy drejta janë identike sepse kanë të njëjtën ekuacion. 2. Problemi: Gjeni parametrin $p$ të cilit origjina $(0,0,0)$ i përmbahet ekuacionit të planeve: $$[2 - 3p] x + t (3p + 6) y + 4z = 8 = 0$$ Vendosim $x=0$, $y=0$, $z=0$ dhe zëvendësojmë në ekuacion: $$[2 - 3p] \cdot 0 + t (3p + 6) \cdot 0 + 4 \cdot 0 = 8 \implies 0 = 8$$ Kjo nuk ka zgjidhje reale, prandaj nuk ekziston $p$ që e bën origjinën pjesë të këtij plani. 3. Problemi: Gjeni $k$, $t$, $l$ dhe prefiksin që lidhen me boshtin e koordinatave në: $$\sqrt{3} x - y - 2z = 0$$ Ky është ekuacioni i një plane. Boshti i koordinatave është linja ku $x=0$, $y=0$. Nëse duam që kjo plan të ketë boshtin koordniativ si linjë, ekuacioni duhet të jetë i pavarur nga $z$ (pra vlera për $z$ të jetë e lirë). Kjo ndodh kur koeficientët e $x$ dhe $y$ janë zero, por këtu nuk janë. 4. Problemi: Përcaktoni $\\alpha$ nga ekuacioni: $$3x - (1 - 2n) y - 6z = 0$$ ku $\\mu = 4.50$ Nëse $\\alpha$ lidhet me këndin midis drejtes dhe boshtit apo ndonjë parametrizim, pa më shumë detaje nuk mund të përcaktohet. 5. Problemi: Gjeni $k$ dhe $m$ nga ekuacioni: $$x - y + 2 = 0$$ Ky është një drejtë në planin $xy$ ku $$y = x + 2.$$ Formati i përgjithshëm lineare është $y=kx + m$ ku këtu është $k=1$, $m=2$. 6. Problemi: Gjeni ekuacionin e drejtës kur ndryshimi i dy parametrave $m - m = 4$. Kjo nuk është e saktë në formulim; duhet sqarim shtesë. 7. Problemi: Kontrolloni nëse dy drejtat janë normale: $$d_1: -3x - 5y + 7 = 0$$ $$d_2: 10x + 6y - 3 = 0$$ Normaliteti do të thotë se vektorët normal të dy drejtimeve janë të drejtë kënd. Vektorë normal: $d_1$: $\mathbf{n}_1 = (-3, -5)$ $d_2$: $\mathbf{n}_2 = (10, 6)$ Kontrollojmë: $$\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2 = (-3)(10) + (-5)(6) = -30 -30 = -60 \neq 0$$ Prandaj, drejtat nuk janë normale. 8. Problemi: Në pikën $A(5,4)$ jepen drejtat $d_1$, $d_2$ dhe kontrollet. Drejta: $$2x + y - 4 = 0$$ Vlerësojmë në $A$: $$2(5) + 4 - 4 = 10 + 4 - 4 = 10 eq 0$$ Pra pike $A$ nuk ndodhet në këtë drejtë. Përmbledhje: - Ekuacionet e drejtimeve janë në format $ax + by + c = 0$. - Për të gjetur parametrin që përmban origjinën, zëvendësoni $x=0, y=0, z=0$ në ekuacion. - Kontrolloni nëse dy drejtat janë normale duke përdorur produktin skalier të vektorëve normal. - Për të marrë penden e drejtës në plan, ridrejto lojën në formën $y = kx + m$.