1. Өгөгдсөн Крамерийн дүрмийн дагуу шуудтман тэгшитгэлийн системийг бодно: $$\begin{cases} 2x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 5 \\ 3x_1 + 4x_2 + x_3 = 13 \\ x_1 + 2x_2 + 4x_3 = 2 \end{cases}$$ 2. Матриц A-г тогтооно: $$A=\begin{bmatrix}2 & 2 & 3\\3 & 4 & 1\\1 & 2 & 4\end{bmatrix}$$ Түүний детерминантыг олно: $$\det(A) = 2\begin{vmatrix}4 & 1\\ 2 & 4\end{vmatrix} - 2\begin{vmatrix}3 & 1\\ 1 & 4\end{vmatrix} + 3\begin{vmatrix}3 & 4\\ 1 & 2\end{vmatrix}$$ Эдгээр 2х2 детерминантуудыг тооцно: $$\begin{vmatrix}4 & 1\\ 2 & 4\end{vmatrix} = (4)(4)-(1)(2) = 16-2=14$$ $$\begin{vmatrix}3 & 1\\ 1 & 4\end{vmatrix} = (3)(4)-(1)(1) = 12 -1=11$$ $$\begin{vmatrix}3 & 4\\ 1 & 2\end{vmatrix} = (3)(2)-(4)(1) = 6 -4=2$$ Ингээд: $$\det(A) = 2(14) - 2(11) + 3(2) = 28 -22 +6 = 12$$ 3. Крамерийн дүрмийн дагуу хувьсагчуудын утгуудыг олохын тулд $x_1, x_2, x_3$-ыг хүснэгтэнд орлуулна: Матриц $A_1$ нь $A$-гийн 1-р багана нь иж бүрэн үр дүнгийн багана $b$ дагуу солигдсон: $$A_1 = \begin{bmatrix}5 & 2 & 3\\ 13 & 4 & 1\\ 2 & 2 & 4\end{bmatrix}$$ $$\det(A_1) = 5\begin{vmatrix}4 & 1\\ 2 & 4\end{vmatrix} - 2\begin{vmatrix}13 & 1\\ 2 & 4\end{vmatrix} + 3\begin{vmatrix}13 & 4\\ 2 & 2\end{vmatrix}$$ $$=5(16 -2) - 2(52 - 2) + 3(26 - 8) = 5(14) - 2(50) + 3(18) = 70 -100 +54 = 24$$ Матриц $A_2$ нь $A$-гийн 2-р багана нь $b$ дагуу солигдсон: $$A_2 = \begin{bmatrix}2 & 5 & 3\\ 3 & 13 & 1\\ 1 & 2 & 4\end{bmatrix}$$ $$\det(A_2) = 2\begin{vmatrix}13 & 1\\ 2 & 4\end{vmatrix} - 5\begin{vmatrix}3 & 1\\ 1 & 4\end{vmatrix} + 3\begin{vmatrix}3 & 13\\ 1 & 2\end{vmatrix}$$ $$= 2(52 - 2) - 5(12 -1) + 3(6 - 13) = 2(50) - 5(11) + 3(-7) = 100 - 55 - 21 = 24$$ Матриц $A_3$ нь $A$-гийн 3-р багана нь $b$ дагуу солигдсон: $$A_3 = \begin{bmatrix}2 & 2 & 5\\ 3 & 4 & 13\\ 1 & 2 & 2\end{bmatrix}$$ $$\det(A_3) = 2\begin{vmatrix}4 & 13\\ 2 & 2\end{vmatrix} - 2\begin{vmatrix}3 & 13\\ 1 & 2\end{vmatrix} + 5\begin{vmatrix}3 & 4\\ 1 & 2\end{vmatrix}$$ $$= 2(8 - 26) - 2(6 - 13) + 5(6 - 4) = 2(-18) - 2(-7) + 5(2) = -36 +14 +10 = -12$$ Эцэст нь системийн шийд: $$x_1 = \frac{\det(A_1)}{\det(A)} = \frac{24}{12} = 2$$ $$x_2 = \frac{\det(A_2)}{\det(A)} = \frac{24}{12} = 2$$ $$x_3 = \frac{\det(A_3)}{\det(A)} = \frac{-12}{12} = -1$$ --- 4. Пирамидын эзлэхүүнийг олох: Оргилууд: $$A = (0,0,1), B=(2,3,5), C=(1,4,4), D=(2,5,4)$$ Пирамидын суурь трегон (BCD) олон талт хүүтэй. Эхлээд суурь гурвалжны талбайг олно: Векторууд: $$\vec{BC} = C - B = (1 - 2, 4 - 3, 4 - 5) = (-1, 1, -1)$$ $$\vec{BD} = D - B = (2 - 2, 5 - 3, 4 - 5) = (0, 2, -1)$$ Гурвалжний талбай: $$S_{BCD} = \frac{1}{2} |\vec{BC} \times \vec{BD}|$$ Кросс үржвэр: $$\vec{BC} \times \vec{BD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & -1 \end{vmatrix} = (1\cdot (-1) - (-1)\cdot 2)\mathbf{i} - ((-1)\cdot(-1) - (-1)\cdot 0)\mathbf{j} + ((-1)\cdot 2 - 1\cdot 0)\mathbf{k} = ( -1 + 2)\mathbf{i} - (1 - 0)\mathbf{j} + (-2 - 0)\mathbf{k} = (1, -1, -2)$$ Модулийг олно: $$|\vec{BC} \times \vec{BD}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$$ Иймээс талбай: $$S_{BCD} = \frac{1}{2} \sqrt{6}$$ 5. Пирамидын өндрийг олохын тулд баганын чигийн вектор $\vec{AB}$-г олно: $$\vec{AB} = B - A = (2 - 0, 3 - 0, 5 - 1) = (2, 3, 4)$$ Плани тригон BCD-ийн хэвийн вектор нь $\vec{n} = \vec{BC} \times \vec{BD} = (1, -1, -2)$ Өндрийн томъёо: $$h = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$$ Иүүнийг бодоход: $$\vec{AB} \cdot \vec{n} = 2\cdot 1 + 3 \cdot (-1) + 4 \cdot (-2) = 2 -3 -8 = -9$$ $$h = \frac{| -9 |}{\sqrt{6}} = \frac{9}{\sqrt{6}}$$ 6. Эзлэхүүний томъёо: $$V = \frac{1}{3} S_{BCD} \times h = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{6}}{2} \times \frac{9}{\sqrt{6}} = \frac{1}{3} \times \frac{9}{2} = \frac{9}{6} = 1.5$$ --- 7. 2x2 матрицын хувийн утгууд ба хувийн векторуудыг олох: Матриц: $$A = \begin{bmatrix} -8 & -1 \\ 16 & 0 \end{bmatrix}$$ 8. Хувийн утгуудыг олно: Характеристик полином нь: $$\det(A - \lambda I) = 0 $$ $$ \det\begin{bmatrix}-8 - \lambda & -1 \\ 16 & - \lambda\end{bmatrix} = (-8 - \lambda)(-\lambda) - (-1)(16) = 0$$ $$ \Rightarrow (\lambda + 8)\lambda -16 = \lambda^2 + 8\lambda -16 = 0$$ 9. Үүнийг шийднэ: $$\lambda = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 64}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{128}}{2} = \frac{-8 \pm 8\sqrt{2}}{2} = -4 \pm 4\sqrt{2}$$ Хувийн утгууд: $$\lambda_1 = -4 + 4\sqrt{2}, \quad \lambda_2 = -4 - 4\sqrt{2}$$ 10. Тухайн хувийн утгуудын хувийн векторуудыг олно: Жишээ нь, $\lambda_1$ хувийн утгын хувьд: $$ (A - \lambda_1 I)\vec{v} = 0 $$ $$\begin{bmatrix} -8 - \lambda_1 & -1 \\ 16 & - \lambda_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$ Эхний мөр: $$(-8 - \lambda_1)x - y = 0 \Rightarrow y = (-8 - \lambda_1)x$$ $$-8 - \lambda_1 = -8 - (-4 + 4\sqrt{2}) = -8 + 4 -4\sqrt{2} = -4 - 4\sqrt{2}$$ Нэгэн хэмжээст хувийн вектор: $$\vec{v}_1 = \begin{bmatrix}1 \\ -4 - 4\sqrt{2} \end{bmatrix}$$ Ижил байдлаар $\lambda_2$ хувийн утгын хувийн вектор: $$y = (-8 - \lambda_2)x = -8 - (-4 - 4\sqrt{2}) = -8 +4 + 4\sqrt{2} = -4 + 4\sqrt{2}$$ $$\vec{v}_2 = \begin{bmatrix}1 \\ -4 + 4\sqrt{2} \end{bmatrix}$$